Gleichungstyp 2 /Lösung durch Sub.

Question

Aufgabe:

ex - 20e-x =-1
ex -20e-x+1= 0 l•ex
e2x+ ex - 20 = 0

Problem/Ansatz:

Woher kommt die •ex her?

Answer 1

Woher kommt die •ex her?

Du multiplizierst bei der Äquivalenzumformung mit e^x, damit e^-x verschwindet. Siehe Potenzgesetze

e^x - 20·e^(-x) = -1

e^x - 20·e^(-x) + 1 = 0

e^2·x - 20 + 1·e^x = 0

e^2·x e^x - 20 = 0

Subst. e^x = z

z² + z - 20 = 0 --> z = -5 ∨ z = 4

e^x = -5 → Keine Lösung

e^x = 4 → x = ln(4) = ln(2²) = 2·ln(2)

Answer 2

Lösung ohne Substitution:

$e^x - 20\cdot e^{-x} = -1$

$e^x - \frac{20}{e^{x}}= -1 |\cdot e^{x}$

$e^{2x} -20= - e^{x}$

$e^{2x}+ e^{x}=20$

$(e^x+ \frac{1}{2})^2=20+(\frac{1}{2})^2 =\frac{81}{4} | ±\sqrt{~~}$

1.)

$e^x+ \frac{1}{2}=\frac{9}{2}$

$e^x=4$

$x_1=\ln(4)$       mit  $\ln(e)=1$

2.)

$e^x+ \frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$

$e^x=-5$  keine Lösung