Zu zeigen ist, dass jede binäre Relation R in M eindeutig eine Äquivalenzrelation R' in M bewirkt.

Question

Gegeben ist eine beliebige Relation R in M. Durch R wird in M eine Äquivalenzrelation R' bewirkt, was zu beweisen ist.

Answer 1

man kann bei einer gegebenen Relation \( R \subset M \times M \) diese so ergänzen, dass \( R' = R \cup A \) eine Äquivalenzrelation ist, wobei \( A \) die Menge zu ergänzender Tupel ist.

Wähle \( R' = R \cup \{ (a, a) : a \in M \} \), so ist \( R' \) reflexiv.

Wähle \( R'' = R' \cup \{ (a, b) \in M \times M : (b, a) \in R \} \), dann ist \( R'' \) symmetrisch.

Wähle \( R''' = R'' \cup \{ (a, c) \in M \times M: \exists b \in M: (a,b), (b, c) \in R'' \} \), so ist \( R''' \) transitiv.

Dieses \( R''' \) ist das in deiner Notation beschriebene \( R' \), das mittels des angegebenen Verfahrens durch \( R \) in \( M \) (eindeutig) bewirkt wird.

Mister

Comments

@Mister: (das ist meinerseits keine Kritik sondern reines Interesse)

Müsste hier  nicht noch begründet werden, dass beim Übergang von R'' → R'''  mit jedem "neuen" Paar (a,c) ∈ M''' automatisch auch (c,a) ∈ M''' gilt, weil sonst die Symmetrie wieder gestört sein könnte?

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@-Wolfgang-: Nein, das muss nicht extra begründet werden, da mit \( (a,b), (b, c) \in R'' \) auch \( (b, a), (c, b) \in R'' \) sind. Somit nimmt man für jedes \( (a, c) \) auch \( (c, a) \) in die neue Menge \( R''' \) auf.