Beweise: Dann gibt es offene Mengen O1, O2 ⊂ X mit O1 ∩ O2 = ∅ und K1 ⊂ O1 sowie K2 ⊂ O2

Question

Aufgabe:

Es sei (X, d) ein metrischer Raum und es seien K1, K2 ⊂ X kompakt und disjunkt. Beweise oder widerlege: Dann gibt es offene Mengen O1, O2 ⊂ X mit O1 ∩ O2 = ∅ und K1 ⊂ O1 sowie K2 ⊂ O2

Problem/Ansatz:

Mein Bauchgefühl sagt, dass diese Aussage wahr ist. Meine Idee war es O1 als eine offene Teilüberdeckung von K1 zu wählen und O2 als X\O1. Leider komme ich bei dem Beweis überhaupt nicht weiter...

Answer 1

Betrachte \(D = \inf\{d(x,y)\,|\,x\in K_1,\, y\in K_2\} \geq 0\) .

Da \(K_1,K_2\) kompakt sind, kann man sogar zeigen, dass das Infimum ein Minimum ist. Das brauchen wir aber hier nicht.

Jetzt zeigen wir, dass \(D > 0\) ist. Angenommen, D = 0. Dann gibt es Folgen \(x_n \in K_1, y_n \in K_2\), so dass \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}d(x_n,y_n) = 0\).

Per Kompaktheit erhalten wir Teilfolgen \(x_ {n_k},y_{n_k}\), die in \(K_1\) bzw. \(K_2\) konvergieren:

 \(\displaystyle \lim_{k\to\infty}x_ {n_k} = x \in K_1\) und \(\displaystyle \lim_{k\to\infty}y_ {n_k} = y \in K_2\).

Nun gilt aber

\(d(x,y) \leq d(x,x_ {n_k}) + d(x_ {n_k},y_{n_k}) + d(y_{n_k},y) \stackrel{k\to\infty}{\longrightarrow}0\)

D.h., \(x=y\) und somit wären \(K_1\) und \(K_2\) nicht disjunkt im Widerspruch zur Vorausetzung. Also wissen wir \(\boxed{D>0}\).

Jetzt überdecke \(K_1\) und \(K_2\) mit offenen \(\frac D2\)-Kugeln. Zu zeigen, dass diese beiden Überdeckungen disjunkt sind, überlass ich dir.