Zeige, dass es Unterräume U, T von V gibt mit f=\piU die Projektion auf U entlang T .

Question

Aufgabe:

Sei $f \in \operatorname{End}(V)$ mit $f \circ f=f$ (man nennt $f$ idempotent). Zeige, dass es Unterräume $U, T$ von $V$ gibt mit $f=\pi_{U}$ die Projektion auf $U$ entlang $T$.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe überhaupt nicht, was hier wie zu zeigen ist???

Answer 1

Vielleicht erst einmal ein geometrisches Beipspiel aus dem $V= \mathbb R^3$:

Die Abbildung $f:\mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3$ mit $f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\\color{blue}{0}\end{pmatrix}$ projiziert einen Vektor entlang der $z-$Achse (also dem von $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ aufgespannten Unterraum $T$) auf die $xy$-Ebene (dem Unterraum $U$). Offensichtlich gilt $f\circ f = f$.

Dabei gilt folgendes:

$T= \ker f$, $U = \operatorname{im} f$  und $V= T \oplus U \quad (1)$

Letzeres bedeutet, dass $V = T + U$ und zusätzlich gilt $T\cap U =\{o\}$. Daraus folgt dann, dass jedes $x \in V$ in eindeutiger Weise zerlegt werden kann $x=t+u$ mit $t\in T$ und $u \in U$.

Wenn eine lineare Abbildung $f:V\rightarrow V$ die Eigenschaften (1) hat, nennt man sie die Projektion auf $U$ entlang $T$ und typische Schreibweisen sind $\pi_U$ oder $P_U$.

Das Interessante ist nun, dass es ausreicht, dass eine lineare Abbildung $f:V\rightarrow V$ die Eigenschaft $f\circ f= f$ hat, damit (1) gilt. Und genau das ist zu zeigen.

Sei also $U =\operatorname{im} f$. Es gilt auf jeden Fall

$x= f(x) + (x-f(x))$

Es ist $f(x-f(x)) = f(x) - (f\circ f)(x) = f(x) - f(x) = o$

$\Rightarrow x-f(x) \in \ker f$.

Jetzt wissen wir schon $V= \operatorname{im} f + \ker f$.

Sei nun $x\in \operatorname{im} f \cap \ker f$. Also $x=f(y)$ für ein geeignetes $y\in V$. Nun gilt nach Voraussetzung:

$o = f(x) = (f\circ f)(y) = f(y) = x \Rightarrow \operatorname{im} f \cap \ker f =\{o\}$.

Also $V = \operatorname{im} f \oplus \ker f$.

$f$ ist daher die Projektion auf $U =\operatorname{im} f$ entlang $T = \ker f$.

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe, die ausführliche Antwort und das erklärende Beispiel ☺

Answer 2

Du sollst zeigen, dass es Untervektorräume $T, U\subset V$ gibt, sodass $f( x) = \pi _{ U} ( x)$ für alle $x \in T$.
Du kannst überprüfen, dass $T = V$ und $U = \text{im}\!\left( f\right)$ die Bedingung erfüllen. Wahrscheinlich sollen es in deiner Aufgabe aber echte Untervektorräume sein, also $T, U \neq V$, sonst bräuchte man die Bedingung nämlich garnicht. Das obige Beispiel sollte aber klar machen, was die Aufgabenstellung bedeutet.