Die lineare Abbildung Pg projeziert orthogonal jeden Punkt Q ∈ ℝ2 auf die Gerade g : x - y = 0

Question

Aufgabe:

Die lineare Abbildung P_g projeziert orthogonal jeden Punkt Q ∈ ℝ² auf die Gerade g : x - y = 0

a) Finden Sie die Abbildungsvoschrift von P_g und zeigen Sie, dass P_g eine lineare Abbildung ist.

b) Welche Punkte der Ebene ℝ² fallen mit ihren Projektionen zusammen: x = P_g (x)? Zeigen Sie, dass sie ein Unterraum der ℝ²

bilden und bestimmen Sie die Dimension und eine Basis dieses Unterraums.

c) Welche Punkte des Raums ℝ² gehören zum Kern der Abbildung P_g? Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis dieses Unterraums.

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung was ich hier machen soll und vorgehen soll brauche dringend Hilfe.

Answer 1

Hallo

zeichne die Gerade ein, projiziere die 2 BasisVektoren darauf, dann hast du die Matrix der Abb.

Gruß lul

Comments

das hilft mir leider kein stück weiter habe immer noch keine Ahnung wie ich es machen soll.

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Weisst du denn was senkrecht projizieren heisst?

lul

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nicht wirklich

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Bild von A  ist A' , von  CC':

grün y-x=0

lul

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aber wie soll ich die aufgaben lösen

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Hallo

wie findest du denn eine Abbildungsmatrix, wenn du die Bilder der Basisvektoren kennst? Oder wenn du die Bilder von 2 Punkten kennst?

lul

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@Mathe 123: weißt Du dass eine lineare Abbildung in \(\mathbb{R^2}\) immer so aussieht:$$x' = \begin{pmatrix} a& b\\ c& d\end{pmatrix}\cdot x, \quad a,b,c,d \in \mathbb{R}, \quad x,x'\in\mathbb{R}^2$$??

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aber kenne ich die punkte sie sind doch frei wählbar

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aber kenne ich die punkte sie sind doch frei wählbar

Der Punkt \(x\) ist frei wählbar; bzw. obige Abbildung muss natürlich für jeden Punkt \(x \in \mathbb{R}^2\) gelten. Die Koeffizienten \(a,b,c,d\) der Matrix sind zu bestimmen.

Mein Frage war: ist Dir diese Form der Abbildung "Matrix mal Vektor(Punkt) gibt Vektor(Punkt)" bekannt?

Answer 2

Nach lul's Skizze, gilt z.B.

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix} \newline \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3.5\\3.5 \end{pmatrix}$$

Dieses Gleichungssystem hat die Lösung a = b = c = d = 0.5

Also ist

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$$

Comments

also ist das dann die Abbildungsvorschrift? aber wie komme ich auf diese rechnerisch

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Hallo

indem du das GS das dir ja Mathecoach gesagt hast löst. noch einfacher ist es, wenn du nich meine zufällig gewählten Punkt nimmst, sondern die Standardeinheitsvektoren, deren Bilder sind immer die Spalten der Matrix , das sollte man eigentlich wissen, und es war mein erster Rat!

Gruß lul

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@Mathe 123

1. Schaffst du es meine Matritzengleichungen als lineares Gleichungssystem zu schreiben?

2. Schaffst du es dieses Gleichungssystem zu lösen?

Wenn die Antwort auf eine der Fragen nein lautet erkläre genau woran du scheiterst?