Aloha :)
Die Differentialgleichungy′′+4y′+5y=0führt mit dem Ansatz y=eλx auf die quadratische Gleichung:λ2+4λ+5=0⟹(λ2+4λ+4)=−1⟹(λ+2)2=i2⟹λ=±i−2Da alle Linearkombinationen des Ansatzes Lösungen der Differentialgleichung sind, haben wir als allgemeine Lösung:y(x)=A⋅e(i−2)x+B⋅e(−i−2)x=e−2x(Aeix+Be−ix);A,B∈C
Damit die Lösungen reell sind, muss der Imaginärteil der Klammer verschwinden. Das tut er genau dann, wenn A=B∗ gilt, also die beiden Konstanten komplex konjugiert zueinader sind.
Mit A=a+ib und a,b∈R wird dann die Klammer aus der Lösung zu:Aeix+Be−ix=(a+ib)(cosx+isinx)+(a−ib)(cosx−isinx)=2acosx−2bsinx
Die allgemeine reelle Lösung der Differentialgleichung ist daher:y(x)=2e−2x(acosx−bsinx);a,b∈R