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Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung dieses Differentialgleichungssystems 2. Ordnung

y′′ + 4y'+5y=0


Mein Ansatz:

-2 ± 4 \sqrt{-4}

λ1= -2 + i
λ2= -2 - i

y= e-2x(c1*sin(3i*x) + c2*cos(3i*x)


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korrigiere: e-2x(c1sin(ix) + c2cos(ix))

3 Antworten

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Beste Antwort

hallo

schreibe es als e-2x*(C1eix+C2*e-ix)

dann  kannst du statt C1eix+C2*e-ix   schreiben c1cos(x)+c2(sin(x) da jede Linearkombination von linearen Dgl. wieder eine Lösung ist.

(immer wenn du C1e ix+C2*e-ix  hast macht man das um die reellen Lösungen zu finden) du kannst natürlich auch zeigen dass e-2x*sin(x) unter e-2x*cos(x) Lösungen sind.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Ahh okay ich verstehe, danke für den Tipp! (:

Also ist das dann e-2x(c1cos(x)+c2sin(x)) die reelle Lösung oder?

ja! so ist es.( ja reicht als Kommentar nicht)

lul

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Aloha :)

Die Differentialgleichungy+4y+5y=0y''+4y'+5y=0führt mit dem Ansatz y=eλxy=e^{\lambda x} auf die quadratische Gleichung:λ2+4λ+5=0    (λ2+4λ+4)=1    (λ+2)2=i2    λ=±i2\lambda^2+4\lambda+5=0\implies (\lambda^2+4\lambda+4)=-1\implies(\lambda+2)^2=i^2\implies\lambda=\pm i-2Da alle Linearkombinationen des Ansatzes Lösungen der Differentialgleichung sind, haben wir als allgemeine Lösung:y(x)=Ae(i2)x+Be(i2)x=e2x(Aeix+Beix);A,BCy(x)=A\cdot e^{(i-2)x}+B\cdot e^{(-i-2)x}=e^{-2x}\left(Ae^{ix}+Be^{-ix}\right)\quad;\quad A,B\in\mathbb C

Damit die Lösungen reell sind, muss der Imaginärteil der Klammer verschwinden. Das tut er genau dann, wenn A=BA=B^\ast gilt, also die beiden Konstanten komplex konjugiert zueinader sind.

Mit A=a+ibA=a+ib und a,bRa,b\in\mathbb R wird dann die Klammer aus der Lösung zu:Aeix+Beix=(a+ib)(cosx+isinx)+(aib)(cosxisinx)=2acosx2bsinx\small Ae^{ix}+Be^{-ix}=(a+ib)(\cos x+i\sin x)+(a-ib)(\cos x-i\sin x)=2a\cos x-2b\sin x

Die allgemeine reelle Lösung der Differentialgleichung ist daher:y(x)=2e2x(acosxbsinx);a,bRy(x)=2e^{-2x}\left(a\cos x-b\sin x\right)\quad;\quad a,b\in\mathbb R

Avatar von 153 k 🚀

Vielen lieben Dank für diese ausführliche Erklärung!

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Hallo,

->Charakt. Gleichung:

k2 +4k+5=0

k1,2= -2± √( 4-5)

k1,2= -2± √-1

k1,2= -2±  i

y(x)=c1e2xsin(x)+c2e2xcos(x) y(x)=c_{1} e^{-2 x} \sin (x)+c_{2} e^{-2 x} \cos (x)

hierfür gibt es Tabellen, falls ihr sowas benutzen könnt, das brauchst Du nicht jedesmal berechnen:

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

Blatte2 , Punkt 1, Fall 3

Avatar von 121 k 🚀

Ahh super danke! Ich darf zur Prüfung ein handschriftlich beschriftetes DINA4 Blatt mitnehmen, da hilft mir die PDF auf jeden Fall (:

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