Beweis / Zahlentheorie / Primzahlen

Question

Aufgabe:

Sei d ∈ N,d ≥ 2. Sei p eine Primzahl.

Seien a_k ∈ N mit p2∣∣ak für d>k>0,p|a0 aber p² χa0.
Sei
P(X)=X^d+∑a_k⋅X^k: die summe Bereich von k=0,d−1

Zeigen Sie:
Es existiert kein x ∈ Q mit P(x)=0.

Problem/Ansatz:

wie kann man lösen?

kann jemand mir erklären

LG

Comments

p2∣∣ak

Wie ist p2 definiert?

Welche Bedeutung hat ||?

Answer 1

Ich nehme mal an, dass p2∣∣ak heißen soll $p^2| a_k$.

Ich gehe ferner von $d\geq 2$ aus.

Sei $x=r/s$ mit ganzen Zahlen $r,s\neq 0$ und $P(x)=0$.

Wir setzen $r$ und $s$ als teilerfremd voraus,

$x$ also als gekürzten Bruch.

$P(x)=0\Rightarrow s^dP(x)=0$, also

$r^d=-\sum_{k=0}^{d-1}s^{d-k}a_kr^k\equiv 0$ mod $p$,

damit $p|r$ und somit $p^d|r^d$. Sukzessive liefert dies

$p^2| s^{d-k}a_k$ für $k=0,\cdots, d-1$.

Insbesondere $p^2|s^da_0\Rightarrow p|s^d\Rightarrow p|s$

im Widerspruch zur Teilerfremdheit von $r$ und $s$.

Comments

Vielen Dank.Aber warum r^d = 0 mod p?

---

Weil die $a_k$ alle durch p teilbar sind,

ist die Summe durch p teilbar.

---

wenn p² teilt a_k , heißt auch, dass p a_k teilt oder nicht unbedingt.?

weil in der Aufgabestgellung steht p² teilt a_k und nicht p

---

Ja. Natürlich :-)