Gleichung umformen für Nullstellenberechnung

Question

Aufgabe:

\( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) -1 + 0,5x = 0

Problem/Ansatz:

Ich möchte die obige gleichung Umformen, dass ich davon die Nullstellen berechnen kann, allerdings kriege ich die Gleichung nicht in eine geeignete Form.

Vielen Dank für jede Hilfe.

Answer 1

Substituiere: √x = z

1/(2z) -1+0,5^z^2 =0

1- 2z +z^3 = 0

z^3-2z+1 =0

Polynomdivision:

1. Nullstelle raten: z= 1

(z^3-2z+1): (z-1) = ...

Answer 2

\( \frac{1}{2\sqrt{x}}  -1 + 0,5x = 0   |\cdot 2\sqrt{x}\)     mit \(x≠0\)

\( 1 -2\sqrt{x}+x\sqrt{x} = 0  \)

\( x\sqrt{x} -2\sqrt{x}+1 = 0  \)

\( \sqrt{x}\cdot(x -2) = -1  \)

\( \sqrt{x} = \frac{1}{2-x}   |^{2} \)

\(x = \frac{1}{4-4x+x^2}   \)

\(x^3-4x^2+4x-1 =0  \)

\(x_1=1\) ist eine Nullstelle

Polynomdivision:

\((x^3-4x^2+4x-1):(x-1) =x^2-3x+1 \)

\(x^2-3x+1=0 \)

\(x_2=1,5+0,5 \sqrt{5} \)

\(x_3=1,5-0,5 \sqrt{5} \)

Jetzt noch 3 Proben, da Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist.

Answer 3

x=1 raten. \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \)=1-0.5x auf beiden Seiten quadrieren auf die Form 0=Term bringen und den Term durch x-1 dividieren.