Hallo :-)
Leider machst du bei deinen Umformungen falsche Klammerung und ein Vorzeichenfehler.
Du willst ja folgendes zeigen oder widerlegen:
∀ε>0 ∃Nε∈N ∀n∈N≥Nε : ∣an−1∣<ε.
Dazu erstmal ein wenig Umformungen:
∣an−1∣=∣∣∣∣∣2n2+nn2−1∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣2n2+nn2+2n2+n−(2n2+n)∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣2n2+n−n2−n∣∣∣∣∣=2n2+nn2+n=2n+1n+1≥n≥13nn+1≥3nn=31.
Sieht so aus, das die Behauptung falsch ist. Also zeigt man jetzt die Negation der obigen Aussage:
∃ε>0 ∀Nε∈N ∃n∈N≥Nε : ∣an−1∣≥ε.
Finaler Beweis:
Wähle ε=31 und sei Nε∈N beliebig und wähle n=Nε mit n≥1. Dann gilt:
∣an−1∣=∣∣∣∣∣2n2+nn2−1∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣2n2+nn2+2n2+n−(2n2+n)∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣2n2+n−n2−n∣∣∣∣∣=2n2+nn2+n=2n+1n+1≥n≥13nn+1≥3nn=31=ε.