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Aufgabe:

Gegeben ist die Folge


an=n22n2+na_n= \frac{n^2}{2n^2+n}

Zeigen oder widerlegen Sie, dass sich für jedes ϵ>0\epsilon >0 ein NNN \in \mathbb{N} finden lässt, so dass an1<ϵ|a_n-1|< \epsilon für alle nNn \ge N

Problem/Ansatz:

n22n2+n1<ϵ|\frac{n^2}{2n^2+n} -1| < \epsilon

= n2/(2n2+n)(2n2+n)/(2n2+n)<ϵ|n^2/(2n^2+n)- (2n^2+n)/(2n^2+n)| <\epsilon

=n2+n/(2n2+n)<ϵ |-n^2+n/(2n^2+n)| < \epsilon

=n(n+1)/n(2n+1)<ϵ|n(-n+1)/n(2n+1)|< \epsilon

=n+1/(2n+1)<ϵ|-n+1/(2n+1)| < \epsilon


Ist das richtig? Weiter komme ich nicht

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Für alle nNn\in\N giltan1=n22n2+n1=n+12n+1=122n+22n+1>12.\lvert a_n-1\rvert=\left\lvert\frac{n^2}{2n^2+n}-1\right\rvert=\frac{n+1}{2n+1}=\frac12\cdot\frac{2n+2}{2n+1}>\frac12.

2 Antworten

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an-1=n2n+1 \frac{n}{2n+1} -1<n+1/22(n+1/2) \frac{n+1/2}{2(n+1/2)} -1=1/2-1<ε (ε>0).

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Also ist die ein Widerspruch

Was hat diese Antwort mit der Frage zu tun?

Nein, das ist kein Widerspruch. Roland hat erstmal nur nach oben abgeschätzt. Die letzte Ungleichheit mit ...<ε...<\varepsilon lässt sich aber nicht schlussfolgern und hilft hier auch nicht weiter. Es ist sinnvoller, eine Abschätzung nach unten durchzuführen, um so ein spezielles ε>0\varepsilon>0 zu finden, sodass man daraus schließen kann, dass der Betrag an1|a_n-1| eine Mindestgröße hat, also nicht beliebig klein wird, wenn nn größer wird.

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Hallo :-)

Leider machst du bei deinen Umformungen falsche Klammerung und ein Vorzeichenfehler.

Du willst ja folgendes zeigen oder widerlegen:

ε>0 NεN nNNε : an1<ε. \forall \varepsilon>0 \ \exists N_{\varepsilon}\in \N \ \forall n\in \N_{\geq N_{\varepsilon}}: |a_n-1|<\varepsilon.


Dazu erstmal ein wenig Umformungen:

an1=n22n2+n1=n22n2+n+(2n2+n)2n2+n=n2n2n2+n=n2+n2n2+n=n+12n+1n1n+13nn3n=13. |a_n-1|=\left| \frac{n^2}{2n^2+n}-1 \right|=\left| \frac{n^2}{2n^2+n}+\frac{-(2n^2+n)}{2n^2+n} \right|=\left| \frac{-n^2-n}{2n^2+n} \right|= \frac{n^2+n}{2n^2+n}\\= \frac{n+1}{2n+1}\stackrel{n\geq 1}{\geq} \frac{n+1}{3n}\geq \frac{n}{3n}=\frac{1}{3}.

Sieht so aus, das die Behauptung falsch ist. Also zeigt man jetzt die Negation der obigen Aussage:

ε>0 NεN nNNε : an1ε. \exists \varepsilon>0 \ \forall N_{\varepsilon}\in \N \ \exists n\in \N_{\geq N_{\varepsilon}}: |a_n-1|\geq\varepsilon.

Finaler Beweis:

Wähle ε=13\varepsilon=\frac{1}{3} und sei NεNN_{\varepsilon}\in \N beliebig und wähle n=Nεn=N_{\varepsilon} mit n1n\geq 1. Dann gilt:

an1=n22n2+n1=n22n2+n+(2n2+n)2n2+n=n2n2n2+n=n2+n2n2+n=n+12n+1n1n+13nn3n=13=ε. |a_n-1|=\left| \frac{n^2}{2n^2+n}-1 \right|=\left| \frac{n^2}{2n^2+n}+\frac{-(2n^2+n)}{2n^2+n} \right|=\left| \frac{-n^2-n}{2n^2+n} \right|= \frac{n^2+n}{2n^2+n}\\= \frac{n+1}{2n+1}\stackrel{n\geq 1}{\geq} \frac{n+1}{3n}\geq \frac{n}{3n}=\frac{1}{3}=\varepsilon.

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