Aufgabe:
Ermittle die Nullstellen der Funktionenschar
ft(x)=x2−2x+2t−t2f_t(x)=x^2-2x+2t-t^2ft(x)=x2−2x+2t−t2
Problem/Ansatz:
Ich habe versucht das mit der p-q-Formel zu lösen
x1,2=2+−1−2t+t2x_{1,2}= 2+- \sqrt{1-2t+t^2}x1,2=2+−1−2t+t2
Weiter komme ich nicht
Hallo,
x1,2=1±1−2t+t2x1,2=1±t2−2t+1x1,2=1±(t−1)2x1=1+t−1=tx2=1−t+1=2−tx_{1,2}= 1\pm \sqrt{1-2t+t^2}\\ x_{1,2}= 1\pm \sqrt{t^2-2t+1}\\ x_{1,2}= 1\pm \sqrt{(t-1)^2}\\\\ x_1=1+t-1=t\\ x_2=1-t+1=2-tx1,2=1±1−2t+t2x1,2=1±t2−2t+1x1,2=1±(t−1)2x1=1+t−1=tx2=1−t+1=2−t
Gruß, Silvia
Hallo Silvia,
du gehst stillschweigend davon (t−1)2=t−1 \sqrt{(t-1)^2}=t-1 (t−1)2=t−1 gilt?
Für t<1 gilt (t−1)2=1−t \sqrt{(t-1)^2}=1-t(t−1)2=1−t .
Glücklicherweise spielt diese Unterlassung im weiteren Verlauf keine Rolle ...
Stimmt, an t < 1 habe ich nicht gedacht und bei der Kontrolle mit Geogebra fiel es mir auch nicht auf, weil es in diesem Fall offenbar wirklich keine Rolle spielt. Puh...
p= -2, q= 2t-t2
t2-2t+1 = (t-1)2
Es geht auch ohne pq-Formel: ft(x)=x2−2x+2t−t2=x2−2x−(t2−2t)=x2−2x+12−(t2−2t+12)=(x−1)2−(t−1)2=(x−1−(t−1))⋅(x−1+(t−1))=(x−t)⋅(x−(2−t)).\begin{aligned} f_t(x) &=x^2-2x+2t-t^2\\ &=x^2-2x-\left(t^2-2t\right)\\ &=x^2-2x+1^2-\left(t^2-2t+1^2\right)\\ &=\left(x-1\right)^2-\left(t-1\right)^2\\ &=\left(x-1-\left(t-1\right)\right)\cdot\left(x-1+\left(t-1\right)\right)\\ &=\left(x-t\right)\cdot\left(x-\left(2-t\right)\right).\\ \end{aligned}ft(x)=x2−2x+2t−t2=x2−2x−(t2−2t)=x2−2x+12−(t2−2t+12)=(x−1)2−(t−1)2=(x−1−(t−1))⋅(x−1+(t−1))=(x−t)⋅(x−(2−t)).Die Nullstellen x=tx=tx=t und x=2−tx=2-tx=2−t können nun abgelesen werden.
Aloha :)
f(x)=x2−2x+2t−t2=(x2−t2)−(2x−2t)=(x+t)(x−t)−2(x−t)f(x)=\green{x^2}-2x+2t\green{-t^2}=(\green{x^2-t^2})-(2x-2t)=(x+t)\pink{(x-t)}-2\pink{(x-t)}f(x)=x2−2x+2t−t2=(x2−t2)−(2x−2t)=(x+t)(x−t)−2(x−t)f(x)=(x+t−2)(x−t)=(x−(2−t))(x−t)\phantom{f(x)}=(x+t-2)\pink{(x-t)}=(x-(2-t))(x-t)f(x)=(x+t−2)(x−t)=(x−(2−t))(x−t)Die Nullstellen sind also:x1=2−t ∨ x2=t\quad x_1=2-t\;\lor\;x_2=tx1=2−t∨x2=t.
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos