0 Daumen
801 Aufrufe

Aufgabe:

Ermittle die Nullstellen der Funktionenschar

ft(x)=x22x+2tt2f_t(x)=x^2-2x+2t-t^2


Problem/Ansatz:

Ich habe versucht das mit der p-q-Formel zu lösen

x1,2=2+12t+t2x_{1,2}= 2+- \sqrt{1-2t+t^2}

Weiter komme ich nicht

Avatar von

4 Antworten

0 Daumen

Hallo,

x1,2=1±12t+t2x1,2=1±t22t+1x1,2=1±(t1)2x1=1+t1=tx2=1t+1=2tx_{1,2}= 1\pm \sqrt{1-2t+t^2}\\ x_{1,2}= 1\pm \sqrt{t^2-2t+1}\\ x_{1,2}= 1\pm \sqrt{(t-1)^2}\\\\ x_1=1+t-1=t\\ x_2=1-t+1=2-t

Gruß, Silvia

Avatar von 40 k

Hallo Silvia,

du gehst stillschweigend davon (t1)2=t1 \sqrt{(t-1)^2}=t-1 gilt?

Für t<1 gilt (t1)2=1t \sqrt{(t-1)^2}=1-t .

Glücklicherweise spielt diese Unterlassung im weiteren Verlauf keine Rolle ...

Stimmt, an t < 1 habe ich nicht gedacht und bei der Kontrolle mit Geogebra fiel es mir auch nicht auf, weil es in diesem Fall offenbar wirklich keine Rolle spielt. Puh...

0 Daumen

p= -2, q= 2t-t2

t2-2t+1 = (t-1)2

Avatar von 39 k
0 Daumen

Es geht auch ohne pq-Formel: ft(x)=x22x+2tt2=x22x(t22t)=x22x+12(t22t+12)=(x1)2(t1)2=(x1(t1))(x1+(t1))=(xt)(x(2t)).\begin{aligned} f_t(x) &=x^2-2x+2t-t^2\\ &=x^2-2x-\left(t^2-2t\right)\\ &=x^2-2x+1^2-\left(t^2-2t+1^2\right)\\ &=\left(x-1\right)^2-\left(t-1\right)^2\\ &=\left(x-1-\left(t-1\right)\right)\cdot\left(x-1+\left(t-1\right)\right)\\ &=\left(x-t\right)\cdot\left(x-\left(2-t\right)\right).\\ \end{aligned}Die Nullstellen x=tx=t und x=2tx=2-t können nun abgelesen werden.

Avatar von 27 k
0 Daumen

Aloha :)

f(x)=x22x+2tt2=(x2t2)(2x2t)=(x+t)(xt)2(xt)f(x)=\green{x^2}-2x+2t\green{-t^2}=(\green{x^2-t^2})-(2x-2t)=(x+t)\pink{(x-t)}-2\pink{(x-t)}f(x)=(x+t2)(xt)=(x(2t))(xt)\phantom{f(x)}=(x+t-2)\pink{(x-t)}=(x-(2-t))(x-t)Die Nullstellen sind also:x1=2t    x2=t\quad x_1=2-t\;\lor\;x_2=t.

Avatar von 153 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage