Extremwertaufgabe mit Lagrange lösen

Question

Aufgabe:

Ein Getränkehersteller fült Apfelsaft in Verpackungen ab, die die Form eines Quaders mit quadratischer Grundfläche haben, siche unten stehende Skizze. Die Oberfläche des Quaders sei mit \( O=600 \mathrm{~cm}^{2} \) fest vorgegeben Wie mussen die Seitenlängen \( a \) und \( b \) gewählt werden, damit das Volumen \( V \) des Quaders maximal wird? Von der Dicke des Verpackungsmaterials wird abgesehen. Verwenden Sie hierzu das Lagrangesche Multiplikatorverfahren!

Hinweis:
\( O(a, b)=2 a^{2}+4 a b \quad V(a, b)=a^{2} b \)

Problem/Ansatz:

\( \leftarrow \) zielfuntion
\( 600=2 a^{2}+4 a b \) Nebenbedingung
\( \begin{array}{l} L(a, b, \lambda)=a^{2} b+\lambda\left(2 a^{2}+4 a b\right) \\ =a^{2} b+\lambda 2 a^{2}+\lambda 4 a b \\ \frac{\partial L}{\partial a}-2 a b+4 \lambda a+\lambda 4 b=0 \\ \frac{\partial L}{\partial b}=a^{2}+\lambda 4 a \doteq 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda}=2 a^{2}+4 a b \doteq 0 \end{array} \)

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiter helfen? Lgs auflösen. Ich komme leider nicht weiter

Comments

Die Lagrangefunktion ist falsch, und lambda ist lambda mit b. Das Gleichungssystem das Du aufgeschrieben hast, ist auch nicht linear.

Der Quader ist beim Maximum ein Würfel. So ein handelsüblicher Würfel hat sechs Seiten...

Die Lösung a = b = \( \sqrt{600 \, cm^2 / 6} \) = 10 cm liegt deshalb auf der Hand, ganz ohne Schröcklichkeiten wie Lagrange und Ableitungen und Gleichungssystem.

Nachtrag: Roland hat den Titel entschlumpft, das falsche LGS und das falsche lambda sind nun getilgt.

Answer 1

O = 2a^2+4ab = 600

b= (600- 2a^2)/(4a) = 150/a - 0,5a

V(a) = a^2*(150/a-0,5a) = 150a -0,5a^3

V'(a) 0 =0

150-1,5a^2= 0

a^2 = 100

a= 10

b= 10

Es ist ein Würfel.

Comments

In der Aufgabe steht:

Verwenden Sie hierzu das Lagrangesche Multiplikatorverfahren!

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Ich weiß.

Das war die Alternative (auch zur Kontrolle). :)

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Ja dann, w#re noch zu klären, wie Du von

V(a) auf V'(a) kommst...

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Danke, ich habe das verlorengegangene a ergänzt.

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Offenbar Solidarität mit der Fragestellerin. Sie hat das b verloren, Du das a. Das geht gar nicht. Man stelle sich nur einmal vor, was mit dem Wort "Banane" geschehen würde; "nne" versteht doch niemand mehr.

Answer 2

\(O(a,b)=2a^2+4ab\)      \(V(a,b)=a^2 b\)
NB:

\(2a^2+4ab=600\)  → \(a^2+2ab=300\)

\(L(a,b,λ)=a^2b+λ(a^2+2ab-300)\)

\( \frac{dL(a,b,λ)}{da}=2ab+2aλ+2bλ \)

1.)   \( 2ab+2aλ+2bλ =0\) →  \( ab+aλ+bλ =0\) →  \( ab+λ(a+b) =0\)  →   \(λ =-\frac{ab}{a+b}\)    in 2.)

\( \frac{dL(a,b,λ)}{db}=a^2+2aλ \)

2.)   \( a^2+2aλ=0 \)    \( a^2-2a*\frac{ab}{a+b}=0 \) → \( a(a-\frac{2ab}{a+b})=0 \)  → \( a_1=0 \)    \( a^2-ab=0 \)

\(a=b\)

\( \frac{dL(a,b,λ)}{dλ}=a^2+2ab-300 \)

3.)  \( a^2+2ab-300=0 \)

\( a^2+2a^2-300=0 \)    →  \( a=10 \)      \( b=10 \)

Comments

Die Lagrange-Kanone hat den Spatz getroffen. :)