Für welche Funktion f ist das Zentralfeld auch quellenfrei?

Question

Für welche Funktion f ist das Zentralfeld auch quellenfrei?

Aufgabe:

Hallo

Habe bzgl folgender Aufgabe einer Frage zur genauen Notation:

Sei f : (0,oo) → R eine beliebige stetig diffbare Funktion. Dann heisst das Vektorfeld

$\vec{v}$ : R^3 \ {0} → R^3 mit $\vec{v}$ ( $\vec{x}$ ) := ein Zentralfeld.

a) Zeigen Sie, dass ein Zentralfeld immer wirbelfrei ist, d.h. rot $\vec{v}$ = 0

b) Für welche Funktion f ist das Zentralfeld $\vec{v}$ auch quellenfrei, d.h. div $\vec{v}$ = 0 ? Finden Sie ein Beispiel mit einer geeigneten nichtkonstanten Funktion f?

Frage bezieht sich auf b) und zwar, ob man $\vec{v}$ ( $\vec{x}$ ) umschreiben kann:

sodass $\vec{v}$ ( $\vec{x}$ ) = f(r) e_r e_r ist Vektor der in radiale Richtung zeigt.

wie gesagt komme bei der Aufgabe b) einfach nicht voran und hoffe ihr habt Tipps

LG

Gefragt 12 Jul 2023 von Bosna321

ja genau.... Screenshot (36).png

Text erkannt:

8. Hausaufgabenblatt
1. Aufgabe: Das Zentralfeld
Sei $f:] 0, \infty[\rightarrow \mathbb{R}$ eine beliebige stetig differenzierbare Funktion. Dann heißt das Vektorfeld
$\vec{v}: \mathbb{R}^{3} \backslash\{\overrightarrow{0}\} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ mit $\vec{v}(\vec{x}):=\frac{\vec{x}}{\|\vec{x}\|} f(\|\vec{x}\|)$ ein Zentralfeld.
a) Zeigen Sie, dass ein Zentralfeld immer wirbelfrei ist, d.h. $\vec{\nabla} \times \vec{v}=\overrightarrow{0}$ .
b) Für welche Funktionen $f$ ist das Zentralfeld $\vec{v}$ auch quellenfrei, d.h. $\vec{\nabla} \cdot \vec{v}=0$ ? Finden
Sie ein Beispiel mit einer geeigneten nichtkonstanten Funktion $f$ .
2. Aufgabe: Totale Differenzierbarkeit
a) Betrachten Sie eine Funktion $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ mit der Eigenschaft $|f(\vec{x})| \leq\|\vec{x}\|^{2}$ . Zeigen
Sie, dass die Funktion $f$ in $\overrightarrow{0} \in \mathbb{R}^{n}$ total differenzierbar ist und finden Sie $d f(\overrightarrow{0})$ .

Kommentiert 12 Jul 2023 von Bosna321

eine nichtkonstante Funktion f ist nicht ersichtich, bzw ihre Herleitung.

Screenshot (38).png

Text erkannt:

b)
$\begin{array}{l} \vec{\nabla} \cdot \vec{v}=0=d w v=\frac{\partial v_{1}}{\partial x}+\frac{\partial v_{2}}{\partial y}+\frac{\partial v_{3}}{\partial z} \\ \left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} x \hat{z_{2}} \\ -2 y \\ z \end{array}\right) \Rightarrow \underline{0} \\ \Rightarrow 1-2+1=0 . \end{array}$

Kommentiert 13 Jul 2023 von Bosna321

📘 Siehe "Funktion" im Wiki

2 Antworten

Beste Antwort

Aloha :)

Da $\vec v(\vec r)$ ein Zentralfeld ist, gilt: $\;\operatorname{rot}\vec v(\vec r)=\vec 0$ .

Daher existiert ein Skalarfeld $\phi(\vec r)$ , das "Potential" genannt wird, mit $\;\vec v(\vec r)=\operatorname{grad}\phi(\vec r)$ .

In den wichtigen (weil von der Natur bevorzugten) Fällen hängt dieses Potential $\phi$ nur vom Betrag $r=\|\vec r\|$ der Entfernung $\vec r$ zum Kraftzentrum ab, d.h. $\;\phi(\vec r)=\phi(r)$ .

Wenn ein Skalarfeld $\phi(r)$ nur vom Betrag des Vektors $\vec r$ abhängt, gilt für dessen Gradient: $\operatorname{grad}\phi(r)=\phi'(r)\cdot\vec e_r$

Langer Rede kurzer Sinn: Wenn das Potential $\phi(r)$ nur vom Betrag des Abstandes zum Kraftzentrum abhängt, kannst du das Zentralfeld $\vec v(\vec r)$ in der folgenden Form schreiben: $\vec v(\vec r)=\phi'(r)\cdot\vec e_r$

Wenn du davon die Divergenz bestimmst, sollte Null herauskommen ;)

Beantwortet 13 Jul 2023 von Tschakabumba

Wenn $\operatorname{rot}(\vec v)=\vec 0$ ist, kannst du das Vektorfeld $v$ in der folgenden Form schreiben: $\vec v=\operatorname{grad}(\phi)=\phi'(r)\cdot\vec e_r$ oder wie du es getan hast: $\vec v=f(r)\cdot\vec r\quad\text{mit}\quad f(r)=\frac{\phi'(r)}{r}$

Das Potential $\phi(\vec r)$ findest du durch Integration: $\int\vec v\,d\vec r=\int\operatorname{grad}(\phi)\,d\vec r=\int\frac{\partial\phi}{\partial\vec r}\,d\vec r=\int d\phi=\phi(\vec r)+\text{const}$