Globlale Extrema bei 2x+sin(x)

Question

Aufgabe:

Warum nimmt die Funktion f(x)=2x+sin(2x) auf jedem Intervall [c,d] sowohl ihr globales Minimum und Maximum an? Bestimmen Sie diese.

Grenzwertbetrachtung? 2x geht entweder gegen plus und minus unendlich und sin(x) verläuft periodisch, deshalb?!

Comments

Hier der Graph:

https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+2x%2Bsin%282x%29

Answer 1

Der Graph der Funktion ist monoton steigend. Auf dem auf Intervall [c,d] c<d liegt sein globales Minimum bei c und und sein globales Maximum bei d.

Answer 2

Weil jede stetige Funktion auf einem kompakten (hier: abgeschlossen und beschränkt) Intervall ein glob. Max. und glob. Min. annimmt ("Satz vom Max. und Min.", wird häufig verwendet).

Answer 3

Satz vom Minimum und Maximum. Ist \(f: [a,b]\to \mathbb{R}\) stetig, dann ist \(f\) beschränkt und hat ein Maximum und ein Minimum.