Kurvenuntersuchungen: f(x)=0.5x^4-9x^2 auf Hoch-, Tief- und Sattelpunkt untersuchen.

Question

Untersuchen Sie die Funktion f auf Hoch-, Tief- und Sattelpunkt.

a) f(x)=0.5x⁴-9x²

b) f(x)=x⁴-4x³+4x²

c) f(x)=(1/5)x⁵-(2/3)x³+x

Comments

Was verstehst du daran nicht ?

Bitte 2 Ableitungen bilden

Notwendige Bedingung
f'(x0) = 0

ist
f''(x0) > 0 haben wir einen Tiefpunkt
f''(x0) < 0 haben wir einen Hochpunkt
f''(x0) = 0 könnte ein Sattelpunkt vorliegen. Das sollte dann aber noch genauer geprüft werden.

Außerdem kann es hilfreich sein mal eine Wertetabelle zu machen und die Punkte zu skizzieren.

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Hier eine skizze deiner Funktionen

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Schau dir auch noch mal deine Aufgaben zu
"Bestimmen Sie Hoch-, Tief- und Sattelpunkt mithilfe des Vorzeichenwechselkriteriums"

an. Genau so sollst du das vermutlich auch hier machen.

es bringt leider nichts, wenn wir hier deine Hausaufgaben machen und du sie dir dann nicht mal anschaust und versuchst es zu verstehen. Dann lernst du leider nichts.

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Ich konnte c) nicht machen :(

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Warum nicht ?

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Ich kann die Nullstellen nicht finden

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f'(x)=x⁴-2x²+1

f'(x)=0

x⁴-2x²+1=0

?

?

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f(x) = 1/5·x^5 - 2/3·x^3 + x

f'(x) = x^4 - 2·x^2 + 1 = 0

Mach mal eine Substitution z = x^2

x^4 - 2·x^2 + 1 = 0

z^2 - 2·z + 1 = 0
z1 = 1
z2 = 1 (doppelte Nullstelle)

x1 = +1
x2 = -1
x3 = 1
x4 = -1 Ich habe mal die doppelten Lösungen auch extra aufgelistet, damit es klar ist.

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Ich hab' alles ganz verstanden. Vielen Dank :)

Answer 1

a)

 \(f(x)=0,5x^4-9x^2\)

\(f´(x)=2x^3-18x\)

\(2x^3-18x=0\)→ \(x^3-9x=0\)→ \(x*(x^2-9)=0\) → Satz vom Nullprodukt

\(x_1=0\)  \(f(0)=0\)

\(f´´(x)=6x^2-18\)    \(f´´(0)=-18<0 \) → Maximum

\(x_2=-3\)      \(f´´(-3)=36 \) → Minimum

\(x_3=3\)         \(f´´(-3)=36 \) → Minimum

b)

\(g(x)=x^4-4x^3+4x^2\)

\(g´(x)=4x^3-12x^2+8x\)  → \(4x^3-12x^2+8x=0\)→ \(x^3-3x^2+2x=0\)→ Satz vom Nullprodukt

\(x_1=0\)  \(g(0)=0\)

\(x^2-3x+2=0\) → \(x^2-3x=-2\)→ \((x-1,5)^2=-2+2,25=0,25  | \sqrt{x}\)

\(x-1,5=0,5\)

\(x_2=2\)        \(g(2)=2^4-4*2^3+4*2^2=0\)

\(g´´(x)=12x^2-24x+8\)    \(g´´(2)=12*2^2-24*2+8=8>0\) Minimum

\(x-1,5=-0,5\)

\(x_3=1\)        \(g(1)=1^4-4*1^3+4*1^2=1\)

\(g´´(x)=12x^2-24x+8\)    \(g´´(1)=12*1^2-24*1+8=-4<0\) Maximum

c)

 \(h(x)=\frac{1}{5}x^5-\frac{2}{3}x^3+x\)

\(h´(x)=x^4-2x^2+1\)    \(x^4-2x^2+1=0\)

\(x^4-2x^2=-1\)

\((x^2-1)^2=-1+1=0     | \sqrt{}\)

\(x^2=1   \)

\(x_1=1\)

\(h´´(x)=4x^3-4*x\)    \(h´´(1)=4*1^3-4*1=0\) hier liegt eine waagerechte Tangente vor , ist aber weder Hoch- noch Tiefpunkt.

\(h´´´(x)=12x^2-4\)   \(h´´´(1)=12-4=8≠0\) Sattelpunkt

\(x_2=-1\)

\(h´´(x)=4x^3-4*x\)    \(h´´(-1)=4*(-1)^3-4*(-1)=0\)hier liegt eine waagerechte Tangente vor , ist aber weder Hoch- noch Tiefpunkt.

\(h´´´(x)=12x^2-4\)  \(h´´´(-1)=12-4=8≠0\) Sattelpunkt