a)
f(x)=0,5x4−9x2
f´(x)=2x3−18x
2x3−18x=0→ x3−9x=0→ x∗(x2−9)=0 → Satz vom Nullprodukt
x1=0 f(0)=0
f´´(x)=6x2−18 f´´(0)=−18<0 → Maximum
x2=−3 f´´(−3)=36 → Minimum
x3=3 f´´(−3)=36 → Minimum
b)
g(x)=x4−4x3+4x2
g´(x)=4x3−12x2+8x → 4x3−12x2+8x=0→ x3−3x2+2x=0→ Satz vom Nullprodukt
x1=0 g(0)=0
x2−3x+2=0 → x2−3x=−2→ (x−1,5)2=−2+2,25=0,25∣x
x−1,5=0,5
x2=2 g(2)=24−4∗23+4∗22=0
g´´(x)=12x2−24x+8 g´´(2)=12∗22−24∗2+8=8>0 Minimum
x−1,5=−0,5
x3=1 g(1)=14−4∗13+4∗12=1
g´´(x)=12x2−24x+8 g´´(1)=12∗12−24∗1+8=−4<0 Maximum
c)
h(x)=51x5−32x3+x
h´(x)=x4−2x2+1 x4−2x2+1=0
x4−2x2=−1
(x2−1)2=−1+1=0∣
x2=1
x1=1
h´´(x)=4x3−4∗x h´´(1)=4∗13−4∗1=0 hier liegt eine waagerechte Tangente vor , ist aber weder Hoch- noch Tiefpunkt.
h´´´(x)=12x2−4 h´´´(1)=12−4=8=0 Sattelpunkt
x2=−1
h´´(x)=4x3−4∗x h´´(−1)=4∗(−1)3−4∗(−1)=0hier liegt eine waagerechte Tangente vor , ist aber weder Hoch- noch Tiefpunkt.
h´´´(x)=12x2−4 h´´´(−1)=12−4=8=0 Sattelpunkt