Aufgabe: Zu zeigen ist die folgende logische Äquivalenz: Eine Folge an ist genau dann konvergent, wenn n→∞lim inf an = n→∞lim sup an gilt.
Problem: Ich muss jetzt nur noch zeigen, dass aus der Konvergenz der Folge an n→∞lim inf an = n→∞lim sup an folgt.
Im Internet begegnen mir Definitionen des Limes superior bzw. Limes inferior, die ich so noch nicht kenne. Laut meinen Skript ist der Limes superior definiert als n→∞lim sup an := n→∞lim xn mit xn := sup{aj : j≥n} und der Limes inferior ist definiert als n→∞lim inf an := n→∞lim yn mit yn := inf{aj : j≥n} für eine beliebige beschränkte Folge an.
Ich habe damit einen Beweis versucht, weiß aber nicht ob das so richtig ist. Ich gehe wie folgt vor:
Wenn an eine konvergente Folge ist, existiert ein a mit n→∞lim an = a und an ist beschränkt. Dann konvergieren auch der Limes superior sowie der Limes inferior und es gilt offensichtlich
n→∞lim sup an = n→∞lim (sup{aj : j≥n}) = n→∞lim (sup{a}) = a
Für den Limes inferior erhält man dann analog auch a und es folgt die Gleichheit n→∞lim sup an = n→∞lim inf an.
Ich vermute aber, dass das falsch ist, weil ich diese Vorgehensweise sonst nirgendwo im Internet wiedergefunden habe. Wenn es falsch ist, könnte mir bitte jemand verraten wo der Fehler ist? Danke für alle Antworten im Voraus!