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Aufgabe: Zu zeigen ist die folgende logische Äquivalenz: Eine Folge an ist genau dann konvergent, wenn limn \lim\limits_{n\to\infty} inf an = limn \lim\limits_{n\to\infty} sup an gilt.


Problem: Ich muss jetzt nur noch zeigen, dass aus der Konvergenz der Folge an limn \lim\limits_{n\to\infty} inf an = limn \lim\limits_{n\to\infty} sup an folgt.

Im Internet begegnen mir Definitionen des Limes superior bzw. Limes inferior, die ich so noch nicht kenne. Laut meinen Skript ist der Limes superior definiert als limn \lim\limits_{n\to\infty} sup an := limn \lim\limits_{n\to\infty} xn mit xn := sup{aj : j≥n} und der Limes inferior ist definiert als limn \lim\limits_{n\to\infty} inf an := limn \lim\limits_{n\to\infty} yn mit yn := inf{aj : j≥n} für eine beliebige beschränkte Folge an.

Ich habe damit einen Beweis versucht, weiß aber nicht ob das so richtig ist. Ich gehe wie folgt vor:


Wenn an eine konvergente Folge ist, existiert ein a mit limn \lim\limits_{n\to\infty} an = a und an ist beschränkt. Dann konvergieren auch der Limes superior sowie der Limes inferior und es gilt offensichtlich

limn \lim\limits_{n\to\infty} sup anlimn \lim\limits_{n\to\infty} (sup{aj : j≥n}) = limn \lim\limits_{n\to\infty} (sup{a}) = a

Für den Limes inferior erhält man dann analog auch a und es folgt die Gleichheit limn \lim\limits_{n\to\infty} sup anlimn \lim\limits_{n\to\infty}  inf an.


Ich vermute aber, dass das falsch ist, weil ich diese Vorgehensweise sonst nirgendwo im Internet wiedergefunden habe. Wenn es falsch ist, könnte mir bitte jemand verraten wo der Fehler ist? Danke für alle Antworten im Voraus!

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Es sieht so aus, als hättest Du

sup{ajjn}=a \sup\{a_j\mid j\geq n\}=a

Gesetzt. Das ist i.allg. falsch.

1 Antwort

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Beste Antwort


Ja genau, die Gleichheit
limnsupknak=limnsupa\begin{aligned} \lim_{ n \to\infty} \sup_{ k\geqslant n} a_{ k} = \lim_{ n \to\infty} \sup_{ } a \end{aligned}
ist nicht richtig. Hier mal ein Beispielbeweis für den limes superior: Sei ε>0 \varepsilon > 0 beliebig und N N so, dass für nN n\geqslant N gilt
ana<ε    an<a+ε.\begin{aligned} | a_{ n} - a | < \varepsilon \implies a_{ n} < a + \varepsilon .\end{aligned}
Insebesondere gilt also
supkNaka+ε\begin{aligned} \sup_{ k\geqslant N} a_{ k} \leqslant a + \varepsilon \end{aligned}
womit wir
limNsupkNaka+ε\begin{aligned} \lim_{N \to \infty } \sup_{ k\geqslant N} a_{ k} \leqslant a + \varepsilon \end{aligned}
erhalten.
Wegen ε>0 \varepsilon > 0 beliebig folgt also
limjsupkjaka.\begin{aligned} \lim_{j \to \infty } \sup_{ k\geqslant j} a_{ k} \leqslant a .\end{aligned}

Die Ungleichung
alimjsupkjak\begin{aligned} a \leqslant \lim_{j \to \infty } \sup_{ k\geqslant j} a_{ k} \end{aligned}
folgt direkt aus ajsupkjak a _{ j} \leqslant \sup_{ k\geqslant j} a_{ k} .

Der Beweis für den Limes Inferior ist analog.


Avatar von 4,8 k

Danke für die Antwort.

Hallo, doch noch mal kurz eine Nachfrage:

[...] womit wir
limNsupkNaka+ε\begin{aligned} \lim_{N \to \infty } \sup_{ k\geqslant N} a_{ k} \leqslant a + \varepsilon \end{aligned} erhalten.
Wegen ε>0 \varepsilon > 0 beliebig folgt also limjsupkjaka.\begin{aligned} \lim_{j \to \infty } \sup_{ k\geqslant j} a_{ k} \leqslant a .\end{aligned}

Wie folgt aus limNsupkNaka+ε\begin{aligned} \lim_{N \to \infty } \sup_{ k\geqslant N} a_{ k} \leqslant a + \varepsilon \end{aligned} limjsupkjaka.\begin{aligned} \lim_{j \to \infty } \sup_{ k\geqslant j} a_{ k} \leqslant a .\end{aligned}, wenn Epsilon doch nicht Null sein kann?

Das ist ein ziemlich wichtiger Fakt in der Analysis: Wenn für beliege ε>0 \varepsilon > 0 gilt, dass
xa+ε x \leqslant a + \varepsilon , dann muss auch xa x \leqslant a gelten. Wäre das nicht der Fall, so würde x>a x > a gelten, und wählten wir dann
ε=(xa)/2 \varepsilon = ( x - a) / 2 so erhielten wir
xa+ε=a+(xa)/2<x\begin{aligned} x \leqslant a + \varepsilon = a + ( x - a) / 2 < x \end{aligned}
was ein Widerspruch ist, da xa x \neq a.

Ok, dankeschön, das wusste ich leider noch nicht.

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