Differentialform: Pullback kartesisch in polar

Question

Aufgabe:

Differentialformen:

Pullback Koordintatenwechsel

Problem/Ansatz:

Ich möchte von kartesischen in polare Koordinaten wechseln.

$\begin{array}{l}f(r, \varphi)=(r \cos \varphi, r \sin \varphi)=(x, y) \\ \left(f^{*} \omega\right)(r, \varphi)=\omega(f(r), f(\varphi))=d x \wedge d y(\end{array}$

Aus der Vorlesung weiß ich, dass dieser Zusammenhang für den Pullback gilt. Ich weiß auch an sich was da passiert und habe das schon mit der Definition über das Integral berechnet (siehe unten). Ich verstehe nur die Notation beim Pullback einfach nicht. Was soll f(r) sein und was f(phi)? Was mache ich nun damit?

$w=d x \wedge d y$

$\begin{array}{l}\int \limits_{S} w=\iint \omega_{f\left(r \cos \varphi , r \sin \varphi\right)}\left(\frac{\partial f}{\partial r}, \frac{\partial f}{\partial \varphi}\right) d V \\ =\iint d x \wedge d y\left(\left\langle\cos \varphi , \sin \varphi\right\rangle_ ,\left\langle r \sin \varphi , r \cos \varphi\right\rangle\right) d V \\ =\iint \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}\cos \varphi & -r \sin e \\ \sin \varphi & r \cos \varphi\end{array}\right) d V=\iint r d V\end{array}$