Hallo, stehe gerade etwas auf dem Schlauch. Kann mir bitte jemand kurz erklären, warum p(SAS^-1)=Sp(A)S^-1 gilt für eine invertierbare, quadratische Matrix S, beliebige quadratische Matrix A und ein beliebiges Polynom. Komme einfach nicht drauf.
A↦SAS−1A\mapsto SAS^{-1}A↦SAS−1 ist ein (innerer) Automorphismus der Matrizenalgebra:
(SAS−1)(SBS−1)=SA(S−1S)BS−1=S(AB)S−1(SAS^{-1})(SBS^{-1})=SA(S^{-1}S)BS^{-1}=S(AB)S^{-1}(SAS−1)(SBS−1)=SA(S−1S)BS−1=S(AB)S−1.
Ist nun p=∑i=0naiXip=\sum_{i=0}^na_iX^ip=∑i=0naiXi, so gilt
Sp(A)S−1=S(∑aiAi)S−1=∑aiSAiS−1==∑ai(SAS−1)i=p(SAS−1)Sp(A)S^{-1}=S(\sum a_iA^i)S^{-1}=\sum a_iSA^iS^{-1}==\sum a_i(SAS^{-1})^i=p(SAS^{-1})Sp(A)S−1=S(∑aiAi)S−1=∑aiSAiS−1==∑ai(SAS−1)i=p(SAS−1).
Danke! Hab Potenzen von Matrixprodukten mit denen von Zahlen vertauscht.
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