Wie kann ich Homogenität schnell überprüfen?

Question

Aufgabe: Wie kann ich Homogenität für Funktion schnell überprüfen?

Text erkannt:

Problem/Ansatz:

Wie kann ich für die Funktion \(f(x)=-x^{3}+4x \) schnell überprüfen ob Folgendes wahr ist: (2) \( f\left(\frac{1}{2} x_{1}+\frac{1}{2} x_{2}\right) \leq \frac{1}{2} f\left(x_{1}\right)+\frac{1}{2} f\left(x_{2}\right) \), für alle \( x \in[-2,0] \). Gibt es da abseits von einsetzen und ausrechnen irgendwelche Regeln?

Answer 1

Das ist nicht "homogen", sondern ein Spezialfall von "konvexe Funktion".

Zum Nachweis hilft folgender Satz für differenzierbare Funktionen: \(f\) ist konvex auf \(I\iff f'\) monoton wachsend auf \(I \iff f''\ge 0\) auf \(I\).

Damit wird alles einfach (aber nur, wenn dieser Satz zur Verfügung steht, ist allerdings ein üblicher).