Zeigen Sie: Für alle n ∈ ℕ gilt (4 n+6,14 n+22)=2

Question

Aufgabe:

1. Zeigen Sie: Für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt $(4 n+6,14 n+22)=2$.
2. Sei $p \in \mathbb{P}$. In welchen Fällen ist dann $4 p+1$ eine Quadratzahl?
3. Zeigen oder widerlegen Sie: Für $m, n \in \mathbb{N}$ sind die Aussagen $m \nmid n$ und $(m, n)=1$ äquivalent.

Comments

Was ist $(m,n)$?

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Kann ich nicht sagen, so lautet die Aufgabe

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Vermutlich der ggT.

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Dann schau in deinen Unterlagen nach. Die Bedeutung der Aussage muss als erstes geklärt werden. Mathematische Notation ist nicht so einheitlich, dass jeder die in jedem Unterrichtswerk verwendete Notation kennt.

Dein Kommentar hinterlässt bei mir den Eindruck, als ob du dich mit der Aufgabe nicht auseinandergesetzt hast und nur an einer Lösung interessiert bist, die du abschreiben kannst. Sonst würde deine Frage nämlich "Was ist (m,n)?" lauten.

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Es geht um den Ggt (m,n)

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Schön.

Kennst du ein Verfahren, mit dem man den ggT bestimmen kann?

Es gibt einen Mathematiker, der etwa im 3. Jahrhundert v. Chr. in Alexandria gelebt hat, nach dem dieses Verfahren benannt wurde.

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Mit dem euklidischen Algorithmus, dass weiß ich auch.

Ich kann den auch bei natürlichen Zahlen anwenden, aber ich weiß nicht wie ich die Aussage belegen oder wiederlegen kann. Mit einem Gegenbeispiel?

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Nein. Du sollst den euklidischen Algorithmus auch hier anwenden.

Es beginnt mit

14n+22 = 3 * (4n+6) + ...

und geht weiter mit

4n+6 = ... * ... + ....

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14n+22 = 3 * (4n+6) + ...

12n+18+2n+4 oder wie meinst du das?

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Ja, so meine ich das.

Es geht also weiter mit

4n+6= 1* (2n+4) + 2n+2

2n+4 = ... * (2n+2) +

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Ein Gegenbeispiel würdest du nicht finden, wenn die Aussage gilt. Wenn du zeigen sollst, dass die Aussage nicht gilt, würde man evtl. ein Gegenbeispiel suchen. Hier kannst du doch einfach den ggT berechnen. Wie das mit Polynomen funktioniert, könntest du zu Anfang nachlesen.

Answer 1

Hallo

zu 2. )4p+1=a² folgt 4p=a²-1=(a+1)*(a-1) du weisst p ist nur durch p und 1 tb, 4p durch1,  p,2,4

zu 3) was bedeutet m∤n? Wenn es heisst m teilt n nicht such ein einfaches Gegenbeispiel

lul

Answer 2

Hallo,

zu 3)

6 ist kein Teiler von 8, aber ggT(6,8)=2.

zu 2)

4p+1=n²

4p=n²-1

4p=(n-1)(n+1)

4p ist gerade. Also ist n² ungerade und n ebenfalls..

n=2k+1 → n-1=2k ,  n+1=2k+2=2(k+1)

4p=2k•2(k+1)

p=k•(k+1)

Da p eine Primzahl ist, muss k=1 sein.

--> n=3, n²=9

p=2

4p+1=4•2+1=9=3²

:-)

Answer 3

Zu 1.:

Für den in $m,n$ symmetrischen ggT gilt

$(m,n)=(m,\; n+k\cdot m) \; \forall k\in \mathbb{Z}$

Wir haben

$(4n+6, 14n+22)=2(2n+3,7n+11)$.

Ich zeige, dass $(2n+3,7n+11)=1$ ist:

$(2n+3,7n+11)=(2n+3,7n+11-3(2n+3))=(2n+3, n+2)=$

$=(2n+3-2(n+2), n+2)=(-1,n+2)=1$, da 1 die einzige

natürliche Zahl ist, die -1 teilt.