Berechnung der Inhalte von Flächen, die von einem Funktionsgraphen und den Koordinatenachsen begrenzt sind

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von dem Graphen der Funktion f und der x-Achse im Intervall [-1,3] begrenzt wird.

f(x)= x³-3x²+5

Ich verstehe nicht so ganz wie ich das unterteilen soll. Muss ich erstmal den Intervall von -1 bis 1, dann von 1 bis 2 und dann von 2 bis 3 berechnen und was dann?

Comments

Es gibt keine Nullstellen in diesem Intervall:

https://www.wolframalpha.com/input?i=integratex%5E3-3x%5E2%2B5+from+-1+to+3

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was heißt das dann? wie bekomme ich die Fläche?

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indem du die Grenzen einsetzt

Answer 1

\(f(x)= x^3-3x^2+5\)

\(A=\int\limits_{-1}^{3}(x^3-3x^2+5)dx=[\frac{x^4}{4}-x^3+5x]\\=[\frac{3^4}{4}-3^3+5 \cdot 3]-[\frac{(-1)^4}{4}-(-1)^3+5\cdot (-1)]=12\)

Answer 2

Hier kann man von  x=-1 bis x=3 durchintegrieren.

Es wäre nur zu beachten, dass zur Berandung des gesuchten Flächenstücks auch die Randgeraden  x=-1 und x=3  beitragen.

Comments

ich habs so unterteilt

-1 bis 1, dann 1 bis 2 und dann 2 bis 3 und jedes ergebnis dann addiert, allerdigs kommt eine negative Zahl raus, der wert kann aber nicht stimmen als Flächeninhalt, weil der Graph doch überhalb der x achsw liegt. was mache ich falsch? mein rechenweg geht so:

[1/4x^4-x^3+5x](unten -1, oben 1) + [1/4x^4-x^3+5x](unten 1, oben 2) + [1/4x^4-x^3+5x](unten 2, oben 3)

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Dann hast du dich halt wohl irgendwo verrechnet - aber aus deiner Rechnung sollten ja ohnehin einige Teilterme einfach rausfallen, weil

           -A + A = 0

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kommt dann nicht einfach 12 raus? Ich muss es ja eigentlich nicht unterteilen weil da in dem Bereich keine nullstellen sind

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kommt dann nicht einfach 12 raus?

Tut ee, wenn du keinen Fehler machst.

Answer 3

Es ist diese Fläche gesucht:

Comments

kommt dann nicht einfach 12 raus? es gibt ja keine Nullstellen in dem Bereich

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Ja, sogar ganz ohne Integralrechnung:

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Nette Beobachtung !

Aber: ist die Graphik ganz exakt ? Wenigstens von bloßem Auge betrachtet erscheint mir das blaue Segment etwas größer als das gelbe ...