Flächen unter Funktionsgraphen

Question

Gesucht sind die Inhalte der im Folgenden beschriebenen oder markierten Flächenstücke.

a) f(x)=x²-x+1

Fläche über dem Intervall[0;2]

b) f(x)=1/x²

Fläche über dem Intervall [1;3]

c) f(x)=x³-x

von Kurve und x-Achse im 4.Quadranten eingeschlossene Fläche

d) f(x)=x³-x

Fläche zwischen Kurve und x-Achse über dem Intervall [0;2]

Answer 1

Ich mache das zunächst für eine Aufgabe exemplarisch vor. Dann solltest du aber sagen wobei du überhaupt Probleme hast. Eine App wie Photomath könnte dir helfen die Stammfunktion zu bestimmen oder auch gleich komplett das bestimmte Integral berechnen.

a)

f(x) = x² - x + 1

Stammfunktion bilden

F(x) = 1/3·x³ - 1/2·x² + x

Nullstellen der Ausgangsfunktion, da man nicht über Nullstellen integrieren darf

f(x) = 0

Keine und damit auch keine Im Intervall

Nun das bestimmte Integral berechnen um die Fläche zu bestimmen

∫ (0 bis 2) f(x) dx = F(2) - F(0) = 8/3 = 2.667 FE

Comments

1/2x und somit ist das Ergebnis 8/3

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1/2x und somit ist das Ergebnis 8/3

Danke für die aufmerksame Korrektur. Ich habe es geändert.

Answer 2

zum Beispiel:

b) f(x)=1/x² = x^-2. Fläche über dem Intervall [1;3]=$\int\limits_{1}^{3}$ (x^-2 )dx= F(3)-F(1)

Dabei ist F(x)=-1/x. Also -1/3-(-1)=2/3.

Weißt du jetzt, wie es immer wieder geht?

Comments

nein, könntest du c und du auch rechnen?

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c) f(x)=x³-x  von Kurve und x-Achse im 4.Quadranten eingeschlossene Fläche
Dies Fläche ist gemeint:

Hilft das?

 d) f(x)=x³-x  Fläche zwischen Kurve und x-Achse über dem Intervall [0;2]

Diese Fläche ist vermutlich gemeint:

Sie muss in zwei Teilen berechnet werden und die Beträge müssen addiert werden.

Answer 3

Aloha :)

Endlich mal jemand, der Mathe liebt ;))) Beim Integrieren einer Potenz $x^n$ musst du den Exponenten $n$ um $1$ erhöhen und dann durch den neuen Exponenten divideren. Aus $x^n$ wird beim Integrieren also $\frac{1}{n+1}x^{n+1}$. Damit kannst du alle Flächenberechnungen aus den Aufgaben durchführen. Wichtig ist noch, dass Flächen immer positiv gezählt werden. Wenn eine Funktion unterhalb der $x$-Achse verläuft, ist ihr Integral jedoch negativ. Daher musst du den Betrag des Integrals als Fläche nehmen, falls das Ergebnis negativ ist.

$$F_a=\int\limits_0^2(x^2-x+1)dx=\left[\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+x\right]_0^2=\frac{8}{3}-0=\frac{8}{3}$$$$F_b=\int\limits_1^3\frac{1}{x^2}dx=\int\limits_1^3x^{-2}dx=\left[-x^{-1}\right]_1^3=\left[-\frac{1}{x}\right]_1^3=-\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{1}\right)=\frac{2}{3}$$

Bei der (c) müssen wir die Grenzen erst bestimmen. Der 4-te Quadrant ist derjenige rechts unten (x positiv, y negativ). Wir berechnen die Nullstellen der Funktion:$$x^3-x<0\quad\Leftrightarrow\quad x(x^2-1)=0\quad\Leftrightarrow\quad x(x-1)(x+1)=0$$und finden sie bei $x=-1$ bei $x=0$ und bei $x=1$. Im 4-ten Quadranten liegen die letzten beiden, also geht das Integral von $0$ bis \(1). Weil y hier negativ ist, dürfen wir die Betragszeichen für die Fläche nicht weglassen:$$F_c=\left|\int\limits_0^1(x^3-x)dx\right|=\left|\left[\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^2\right]_0^1\right|=\left|\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right|=\left|-\frac{1}{4}\right|=\frac{1}{4}$$

Bei der (d) haben wir dieselbe Funktion wie bei (c). Allerdings haben wir hier die Situation, dass die Kurve unterhalb der $x$-Achse verläuft für $x\in[0|1]$ und oberhalb der $x$-Achse für $x\in[0|2]$. Das Integral unterhalb der x-Achse zählt ja negativ, das oberhalb der x-Achse zählt positiv. Daher müssen wir die Integration an der Nullstelle $x=1$, die wir in (c) bereits gefunden haben aufteilen:$$F_d=\underbrace{\left|\int\limits_0^1(x^3-x)dx\right|}_{=F_c}+\int\limits_1^2(x^3-x)dx=\frac{1}{4}+\left[\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^2\right]_1^2=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}$$