Aufgabe:
a) Sei ε>0 beliebig, aber fest. Finden Sie eine Überdeckung (Ii)i∈N der rationalen Zahlen Q durch kompakte Intervalle Ii mit nichtleerem Inneren (also Ii=[ai,bi] mit ai<bi ), so dass
i=1∑∞∣Ii∣≤ε.
b) Zeigen Sie, dass Q eine Nullmenge bezüglich des eindimensionalen Lebesgue-Maßes L1 ist.
Problem/Ansatz:
Dazu, wie man a) zeigen soll, habe ich leider keine Idee. Zu b) hätte ich mir allerdings folgendes gedacht:
Sei (xk)k∈N eine Abzählung der fraglichen Menge, wobei ohne Einschränkung die xk paarweise verschieden seien. Dann zeigt man, daß für jedes x∈Rn gilt λ({x})=0, denn aus der σ-Additivität von λ folgt dann λ(⋃k∈N{xk})=k∈N∑λ({xk})=0.
Sei also x∈Rn. Dann gilt {x}⊂[x,y) für jedes y, dessen Koordinaten je größer sind als die von x. Insbesondere können wir y=x+(ϵ,…,ϵ) wählen und erhalten so
λ({x})≤λ([x,y))=ϵd,
und da ϵ>0 beliebig war, folgt dass jede abzählbare Teilmenge des Rn eine Lebesgue-Nullmenge ist und ℚ ist doch solch eine abzählbare Teilmenge?
Wie könnte man also a) zeigen und ist meine Ausführung bezüglich b) richtig?