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Hallo,

habe folgende Aufgabe zu lösen:

Bestimme u so, dass die Gleichung genau eine Lösung hat. Wie heißt dann die Lösung?

 u/(x+3)+2u=x-1

 Mein Ansatz:

 u+2ux+6u=x²+3x-x-3
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u/(x+3) + 2u = x - 1 | *(x + 3)
u + 2u(x + 3) = (x - 1)(x + 3)
2ux + 7u = x^2 + 2x - 3
x^2 + 2x - 2ux + (-3 - 7u) = 0
x^2 + (2 - 2u)x + (-3 - 7u) = 0

Die Diskriminante muss Null sein

b^2 - 4ac = (2 - 2u)^2 - 4*(-3 - 7u) = 4·u^2 + 20·u + 16 = 0

mit der abc-Lösungsformel ergibt sich die Lösung

u1 = -4
u2 = -1

Lösung für u = -1

x^2 + (2 - 2(-1))x + (-3 - 7(-1)) = 0
x^2 + 4x + 4 = 0
x = -2

Lösung für u = -4

x^2 + (2 - 2(-4))x + (-3 - 7(-4)) = 0
x^2 
+ 10x + 25 = 0
x = -5

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u/(x+3)+2u=x-1

 

Dein Ansatz:        für x≠3

u+2ux+6u=x²+3x-x-3

Jetzt musst du dafür sorgen, dass die Gleichung für x genau eine Lösung hat, d.h., dass unter der Wurzel der Formel für quadr. Gleichungen 0 steht. D.h. du musst die Diskriminante 0 setzen. Das ist dann eine Gleichung für u, die nach u aufzulösen ist.
 

Erst mal wie bei einer quadr. Glg. sortieren.

0 = x2 + 2x - 2ux -3 - 7u

0 = x2 + (2-2u)x - (3+7u)

Jetzt: Diskriminante b2 - 4ac = 0

(2-2u)2 + 4 (3 + 7u) = 0

4 - 8u + 4u2 + 12 + 28u = 0

4u2 + 20u + 16 = 0

u2 + 5u + 4 = 0

u = 0.5 (-5 ±√(25 - 16))

u = -2.5 ± 0.5√9 = - 2.5 ±1.5 

u1 = - 4

u2 = -1

Bitte noch prüfen! Entweder alle Umformungen oder mit diesen beiden Werten für u die urspr. Glg. lösen.

u=-1

-1- 2x- 6=x²+3x-x-3

0=x+4x +4 = (x+2)2

x= -2

u=-4

-4 -8x -24=x²+3x-x-3

0=x2 +10x + 25= (x+5)2 

x= -5

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Im Zusammenhang mit analogen Fragen bei Lycos habe ich eine andere Strategie entwickelt; es klingt nur dann kompliziert, wenn man etwas erklären muss. ( Meine Strategie würde selbst dann noch funktionieren, wenn die Bedingungsgleichung vom 3. Grade in x wäre und du müsstest entscheiden, wie viel Lösungen in Abhängigkeit von u. Für kubistische gleichungen habt ihr aber gar keine explizite Lösungsformel mehr. )

Zuerst fällt mir auf, dass u nur linear in das Problem eingeht; ich stelle alles nach u um:


u ( x ) = ( 1/2 x ² + x - 3/2 ) / ( x + 7/2 )    ( 1 )


Ich fasse ( 1 ) quasi als Nomogramm auf; an die Marke u der Ordinate legst du das Lineal an und schaust, wie viel Schnittpunkte du mit ( 1 ) bekommst.

Das Ganze läuft auf eine klassische Kurvendiskussion hinaus. Wichtig ist aber, dass wir uns hier eine Prinzipskizze besorgen, und die ist ohne Polynomdivision ( PD ) nicht zu haben. PD könnt ihr; weiß ich von Lycos. Nur: Hier haben wir sogar PD durch Linearfaktor ( PDLF ) , und die geht im Prinzip noch einfacher. Die wird nämlich vom Hornerschema gleich mit erledigt, eine anonyme Entdeckung aus dem Internet. Den " Workvektor " von Onkel Horner musst du nur dem " User zurück geben " PDLF funktioniert doch nach dem Schema


f ( x ) := 1/2 x ² + x - 3/2  ( 2a )

f ( x ) : ( x + 7/2 ) = g ( x )  Rest f ( -7/2 )   ( 2b )

g ( x ) =: m x + b  ( 2c )


Und jetzt Horner:


p2 ( f ) = a2 ( f ) = 1/2 = m   ( 3a )

p1 ( f ; - 7/2 ) = - 7/2 p2 + a1 ( f ) = ( - 3/4 ) = b   ( 3b )

p0 ( f ; - 7/2 ) = - 7/2 p1 + a0 ( f ) = 9/8 = f ( - 7/2 )   ( 3c )

g ( x ) = 1/2 x - 3/4   ( 3d )

u ( x ) = x/2 - 3/4  + 9 / 8 ( x + 7/2 )   ( 3e )


Wenn ich dich jetzt frage: Was für ein Kurventyp ist ( 3e ) ? Und du antwortest


" Gerade + Hyperbel "


dann bist du mir schon auf den Leim gegangen. Im Zusammenhang mit einer Extremwertaufgabe machte ich bei Lycos meine erste ( völlig unerwartete ) Entdeckung. Du kannst jede Hyperbel auf die Normalform ( 4 ) bringen; du musst nur das Zeichenblatt so drehen, dass eine Asymptote vertikal verläuft.


y = a x + b + c / ( x - x0 )    ( 4 )


Du bist nur vertraut mit den gleichseitigen Hyperbeln, deren Asymptoten aufeinander senkrecht stehen ===> a = 0 Hier ist ja g in ( 3d ) die eine Asymptote; diese verläuft im ersten Quadranten ( Bei der Diskussion gebrochener Funktionen solltest du immer von Rechts kommen. ) Wegen des positiven Residuums haut der Graf bei Annäherung an den Pol x0 = ( - 7/2 ) von Rechts ab nach ( + °° )  Wir erwarten ein Minimum.

Folgende Überlegung. Für u > u ( min )  bekommst du zwei Schnittpunkte mit dem ( rechten Ast ) der Hyperbel. Weitere Schnittpunkte mit dem linken Ast kann es nicht geben, weil unsere Bedingung quadratisch ist. Hinzu kommt: Gegenüber dem Schnittpunkt der beiden Asymptoten verlaufen die beiden Äste Punkt symmerisch; verschiebst du den Ursprung des Koordinatensystems in das Symmetriezentrum, siehst du sofort, dass eine Parallele zur Abszisse höchstens einen Hyperbelast trifft. Dies ist die Rechtfertigung, dass wir die Frage mit den Mitteln der Extremwertrechnung erschlagen. ( 3e ) ableiten nach x


u ' ( x ) = 1/2 - 9 / 8 ( x + 7/2 )  ²  = 0    ( 5a )

4 ( x + 7/2 )  ² - 9 =  ( 5b )

= [ ( 2 x + 7 ) + 3 ] [ ( 2 x + 7 ) - 3 ] = 0   ( 5c )


wobei die eckigen Klammernin ( 5c ) von der 3. binomischen herrühren; seht ihr das?

Die eckigen Klammern Nullsetzen


x ( max ) = ( - 5 ) ; x ( min ) = ( - 2 )   ( 6a )


Jetzt war die Ausgangsformel


u / ( x + 3 ) + 2 u = x - 1   ( 6b )

( x | u ) ( max ) = - ( 5 | 4 )   ( 6c )

( x | u ) ( min ) = - ( 2 | 1 )   ( 6d )


Das Symmetriezentrum der Hyperbel folgt, wenn du in ( 3d ) setzt x = ( - 7/2 )


( x | u ) ( sym ) = - 1/2 ( 7 | 5 )   ( 6e)


Als Hausaufgabe : ( 6e ) ist der aritmetische Mittelwert von ( 6cd )

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