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Hi, hab wieder nen Problem mitm 4. Grad ;/

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse und hat im Wendepunkt W(1;-0,5) den Anstieg-4.

Bestimmen sie die Funktionsgleichung!
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Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse und hat im Wendepunkt W(1;-0,5) den Anstieg-4.

Ansatz:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse

y = ax^4 + bx^2 + c

und hat im Wendepunkt W(1;-0,5) den Anstieg-4.

Ergibt folgende 3 Gleichungen:

f(1) = -0.5
f ' (1) = -4

f '' (1) = 0

Bekommst du die Gleichungen und die Auflösung so hin?

2 Antworten

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f(x)= ax^4+bx^2+d

f(1)=-0,5

f´´(1)=0

f´(1)=-4


Mit diesen 3 GLn kannst du die Variablen ermitteln.
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Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse und hat im Wendepunkt W(10,5)(1|-\red{0,5}) den Anstieg  m=4m=-4.

Durch die Achsensymmetrie gilt auch W´(10,5)(-1|-0,5)

Ich verschiebe den Graphen um 0,5\red{0,5} nach \blue{↑}:

Weiter mit der Nullstellenform der Parabel:

f(x)=a(x1)(x+1)(xN)(x+N)=a(x21)(x2N2)=a(x4N2x2x2+N2)f(x)=a(x-1)(x+1)(x-N)(x+N)=a(x^2-1)(x^2-N^2)=a(x^4-N^2x^2-x^2+N^2)

f(x)=a(4x32N2x2x)f'(x)=a(4x^3-2N^2x-2x)

f(x)=a(12x22N22)f''(x)=a(12x^2-2N^2-2)

Wendepunkteigenschaft:  W´(1...)(-1|...)

f(1)=a(122N22)=0f''(-1)=a(12-2N^2-2)=0

a(102N2)=0a(10-2N^2)=0

N2=5N^2=5

Anstieg m=4m=-4 im Wendepunkt:

f(x)=a(4x312x)f'(x)=a(4x^3-12x)

f(1)=a(4+12)=8af'(-1)=a(-4+12)=8a

8a=48a=-4

a=12a=-\frac{1}{2}

f(x)=12(x46x2+5)f(x)=-\frac{1}{2}(x^4-6x^2+5)

um 0,5\red{0,5} nach \blue{↓}:

p(x)=12(x46x2+5)0,5p(x)=-\frac{1}{2}(x^4-6x^2+5)-0,5

Unbenannt.JPG

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die gezeigte Funktion p(x) hat bei W(1|-0,5) die Steigung 4, in der Aufgabe ist aber -4 gegeben.

O ja , das stimmt. Der Rechenweg ist nun aber leicht umzubauen.

Es ist nur nötig, das Vorzeichen von a zu ändern:

Unbenannt.JPG

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