Ganzrationale Funktion 4. Grades achsensymmetrisch y-Achse & har im Wendepunkt W(1/-0,5) die Steigung (m) -4

Question

Ich komme mit dieser Aufgabe überhaupt nicht weiter/ klar.

ich weiß, dass ich 3 Gleichungen brauche, um diese Aufgabe zu berechnen, welche wären:

f(1)= -0,5

f'(1)= -4

f''(1)= 0

Da die Funktion achsensymmetrisch ist, kommen nur gerade Exponenten in Frage (so zumindest hatten wir es in der Schule), d.h. von den Ableitungen her würde das ganze so aussehen:

f(x)= ax^4+cx^2+e

f'(x)= 3bx^2+d

f''(x)= 12ax^2+2c

das ganze eingesetzt:

f(1)= a*1^4+c*1^2 = -0,5

f'(1)=3b*1^2+d = -4

f''(x)= 12a*1^2+2c = 0

Und dann ? Wie rechne ich weiter? Wie bestimme ich die Funktionsgleichung?

Das ganze ist ziemlich wichtig, da es neben anderen Aufgaben eine Aufgabe auf Note ist!

Ich bin für jede Hilfe dankbar & bitte nicht nur das Ergebnis schreiben, sondern den Rechenweg...

Answer 1

Besser man erfindet keine zusätzlichen Variablen bei den Ableitungen:

$$ f(x)= ax^4+cx^2+e  $$
$$ f'(x)= 4 \, ax^3+2\, cx  $$
$$ f''(x)= 12 \, ax^2+2\, c  $$

Comments

und wie geht es dann weiter?

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Werte einsetzen - nur mit den richtigen Parameterbezeichnungen.

Dann versuchen duch geschicktes Verknüpfen der einzelnen Gleichungen sukzessive Variablen zu eliminieren.

Oder stur Gauss-Algorithmus durchziehen.

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danke ich verstehe kein Wort

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Werte in die Gleichungen einsetzen - solltest du hinbekommen - mach mal mit!

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das habe ich doch schon oben beschrieben? Wenn ich die eins einsetze kommt raus:f(x) a+c+e=-0,5f'(x) 4a+2c=-4f''(x) 12a+2c=0
soweit war ich auch schon. und jetzt? jetzt habe ich irgenfwelche gleichungen. Nach a umstellen und einsetzen? Ich habe keine Ahnung wie ich ab hier weiter rechnen muss.Im Unterricht hatten wir Aufgaben bei denen x=0 ist -> es kamm raus dass bspw. c=4, a=2 ist. Die übrigen Gleichungen haben wir mittels gleichungssystem nach b umgestellt und man hatte für alle 4 variablen eine Zahl .A,b,c,d,e in Ausgangsgleichug eingesetzt -> funktion erhalten
Aber hier habe ich keine Variable, für die ich eine Zahl habe! Ich habe 3Gleichungen mit mehreren Variablen und nicht eine Variable und daher nicht den geringsten Ansatz, wie ich wenigstens eine der gesuchten Variablen ausrechnen kann

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Das was du am Anfang gemacht hast, war nur falsch.

I: $$a+c+e=-0,5 $$

II: $$4a+2c=-4$$

III: $$12a+2c=0$$

nun verdoppeln wir I und negieren II

I: $$2a+2c+2e=-1 $$

II: $$-4a-2c=4$$

III: $$12a+2c=0$$

addieren I+II sowie II+III

I+II: $$-2a+2e=3 $$

II+III: $$8a=4$$

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Das ist der "modifizierte" Gauss gewesen

Answer 2

Ganzrationale Funktion 4. Grades achsensymmetrisch y-Achse und hat im Wendepunkt \(W_1(1|-0,5)\) die Steigung \(m= -4\)

Durch die Achsensymmetrie gilt auch \(W_2(-1|-0,5)\)
Ich verschiebe den Graph um \(0,5\) Einheiten nach oben. \(W´_1(1|0)\)und  \(W´_2(-1|0)\)

Die Wendepunkte sind nun einfache Nullstellen.

Weiter mit der Nullstellenform der ganzrationalen Funktion 4. Grades:
\( f(x)=a(x-1)(x+1)(x-N)(x+N)\\=a(x^2-1)(x^2-N^2)\\=a(x^4-N^2x^2-x^2+N^2)\)
\(W_1(1|...)\) 2. Ableitung:
\( f'(x)=a(4x^3-2N^2x-2x)\)
\( f''(x)=a(12x^2-2N^2-2)\)
\( f''(1)=a(10-2N^2)=0\)
\( N^2=5\):
\( f(x)=a(x^4-6x^2+5)\)
\(W_1(1|...)\) die Steigung \(m=-4\)
\( f'(x)=a(4x^3-12x)\)
\( f'(1)=-8a=-4\)
\( a=0,5\)
\( f(x)=0,5(x^4-6x^2+5)\)
Nun um \(0,5\) Einheiten nach unten und Namensänderung:
\( p(x)=0,5(x^4-6x^2+5)-0.5\)