Distributivgesetz für Mengen beweisen.

Question

Hallo,

ich muss das Distributivgesetz für Mengen beweisen, könnte mir jemand helfen die beiden Terme zu beweisen?:

1.A∩(B∪C) ⊆ (A∩B)∪(A∩C):
x ∈ A∩(B∪C) <=>...

2.A∩(B∪C) ⊇ (A∩B)∪(A∩C):
x ∈ (A∩B)∪(A∩C) <=>...

Danke im Voraus.

Answer 1

Den Anfang hast du ja: Sei  x ∈ A∩(B∪C) Def. für ∩ anwenden

                    ==>  x ∈ A  ∧    x∈(B∪C)      Def. für ∪ anwenden

                              ==>  x ∈ A ∧   ( x∈B  ∨  x ∈ C)   
                                               Gesetze der Aussagenlogik anwenden

                           ==> ( x ∈ A ∧   x∈B ) ∨  ( x ∈ A ∧  x ∈ C)
                                                Def. für ∩ anwenden

                         ==>    x∈A∩B    ∨    x∈A∩C
                                                Def. für ∪ anwenden

                       ==>                    x∈  (A∩B)∪(A∩C).

Damit ist A∩(B∪C) ⊆ (A∩B)∪(A∩C) bewiesen.

Comments

gilt das dann für beide Terme nur umgekehrt?

---

Bei der anderen Richtung musst du ja mit

x∈  (A∩B)∪(A∩C) anfangen und auf x∈  (A∩B)∪(A∩C)

kommen.