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Aufgabe:

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Anton hat ein Sparbuch mit einem fixen Zinssatz i mit einer einmaligen Einlage von 1500,00 1500,00 € angelegt. 25 Jahre später löst er das Sparbuch auf und stellt fest, dass sich das Anfangskapital verdoppelt hat. In welcher Zeit hätte sich das Anfangskapital verdoppelt, wenn der Zinssatz
a) um 1% 1 \% höher gewesen wäre?
b) um 0,5 \% niedriger gewesen wäre?

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Berechnung des Endkapitals mithilfe der Zinseszinsrechnung
Kn=K0(1+i)nKn \mathrm{K}_{\mathrm{n}}=\mathrm{K}_{0} \cdot(1+\mathrm{i})^{\mathrm{n}} \quad \mathrm{K}_{\mathrm{n}} \ldots . Endkapital nach n \mathrm{n} Jahren, i \mathrm{i} \ldots Jahreszinssatz


Problem/Ansatz:

Aufgabe a)

Ich habe zuerst den Prozentsatz berechnet und erhielt i = 2,8113.

Dann habe ich 1 Prozent hinzugefügt und anschließend die Formel oben nach n (Zeit) gelöst.

Aber leider habe ich ein völlig falsches Ergebnis erhalten, irgendwas mit 0, ...

Können Sie mir dabei helfen?

Lösung a) 18,530 Jahre"

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1 Antwort

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wenn der Zinssatz
a) um 1% höher gewesen wäre?

Gemeint ist "wenn der Zinssatz um 1 Prozentpunkt höher gewesen wäre".

a) Löse die Gleichung 1,038113n = 2.

b) Löse die Gleichung 1,023113n = 2.

Avatar von 107 k 🚀

Kannst du bitte erkläre wie du auf diese Gleichung gekommen bist, bzw. was ist dein i ganz am Anfang? Danke

Wenn sich das Anfangskapital K0K_0 bei einem Wachstumsfaktor von qq nach nn Jahren verdoppelt, dann ergib das die Gleichung

        K0qn=2K0K_0\cdot q^n = 2K_0.

Division durch K0K_0 liefert

        qn=2q^n = 2.

Das Anfangskapital ist also für die Berechnung irrelevant.

In Teilaufgabe a) ist

        q=1+i+1100q = 1 + i + \frac{1}{100}

und in Teilaufgabe b) entsprechend

        q=1+i0,5100q = 1 + i - \frac{0,5}{100}.

Das mit q habe ich noch gar nicht gelernt, kenne nur die Formel die da oben steht, ich habe folgendes versucht:

3000(weil 2xAnfangskapital)  = 1500(1+i)25

Hier kann ich nach i lösen und danach einmal i und 1% erhöhen und ein einmal um 0,5% verringern danach nach n lösen.

Funktioniert es auch so?

Der Term 1+i1+i in deiner Formel heißt Wachstumsfaktor und wird oft mir qq abgekürzt.

Übrigens, geh bitte etwas sorgsamer mit dem Prozentzeichen um. Der Zinssatz ist i=2,8113%=0,028113i = 2,8113\,\% = 0,028113.

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