Für welches Lambda ist Z Reell?

Question

Aufgabe:

Z= $\frac{5+8j}{λ-3j}$

für welches λ ist Z reell?

Problem/Ansatz:

Kann mir eventuell jemand sagen was damit gemeint ist? Finde die Frage ist, für mein Empfinden, schlecht formuliert ( oder ich stehe einfach auf dem Schlauch).

Answer 1

Z= $\frac{5+8j}{λ-3j}$ Für λ= - $\frac{15}{8}$ ist Z reell.

Grundsätzlich ist $\frac{a+bi}{x-ci}$ reell für x= - $\frac{ac}{b}$.

Answer 2

Aloha :)

Am besten wandelst du den Term so um, dass du Real- und Imaginärteil direkt erkennen kannst. Dann kannst du die $\lambda$ bestimmen, für die der Imaginärteil verschwindet. Dazu erweitern wir den Nenner so, dass wir ihn mit Hilfe der dritten binomischen Formel vereinfachen können:

$$\small z=\frac{5+8i}{\lambda-3i}=\frac{(5+8i)\cdot\pink{(\lambda+3i)}}{(\lambda-3i)\cdot\pink{(\lambda+3i)}}=\frac{5\lambda+i\,8\lambda+15i+24i^2}{\lambda^2-(3i)^2}=\frac{5\lambda+i(8\lambda+15)+24i^2}{\lambda^2-9i^2}$$Wegen $\,i^2=-1\,$ können wir dies noch weiter vereinfachen:$$\phantom z=\frac{5\lambda+i(8\lambda+15)-24}{\lambda^2+9}=\frac{5\lambda-24}{\lambda^2+9}+i\,\frac{8\lambda+15}{\lambda^2+9}$$

Der Imaginärteil verschwiindet, wenn der Zähler des zweiten Bruches zu Null wird:$$8\lambda+15=0\implies \lambda=-\frac{15}{8}$$Für dieses $\lambda$ wird der Wert von $z$ reell.

Comments

vielen vielen dank für die ausführliche Erklörung. Damit kann ich mich jetzt mal hinsetzen um das nachvollziehen zu können.

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Ich habe meine Lösung noch ergänzt, vielleicht hilft dir das beim Nachvollziehen.