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Hallo,

bei der folgenden Aufgabe bin ich mir nicht sicher, ob mein Beweis in Ordnung geht. Könnt Ihr mir sagen, ob mein Beweis richtig ist? Wenn nicht, wo habe ich Fehler gemacht und wie könnte man es stattdessen beweisen?


Aufgabe:

Bestimmen Sie, welche der folgenden Teilmengen U1, ...,U6 von R3 lineare
Unterräume sind:


U5 ist die Menge aller Vektoren (x1, x2, x3) aus R3, für die gilt: Es existiert eine reelle Zahl t, so dass x1 = -t und x3 = 2t.


Problem/Ansatz:

Ein linearer Unterraum muss drei Bedingungen erfüllen:

1. Enthält den Nullvektor.
2. Abgeschlossen unter Vektoraddition.
3. Abgeschlossen unter Skalarmultiplikation.

Wir überprüfen diese Bedingungen für U5:

1. Nullvektor

U5 ist die Menge aller Vektoren (x1,x2,x3)(x_1,x_2,x_3) in R3\mathbb{R}^3, für die es ein tt aus R\mathbb{R} gibt, so dass x1=tx_1 = -t und x3=2tx_3 = 2t. Der Nullvektor in R3\mathbb{R}^3 ist (0,0,0)(0,0,0), und wenn wir t=0t = 0 setzen, erhalten wir x1=0x_1 = 0 und x3=0x_3 = 0. Also gehört der Nullvektor zu U5.

2. Vektoraddition

Nehmen wir zwei Vektoren u=(x1,x2,x3)u = (x_1,x_2,x_3) und v=(y1,y2,y3)v = (y_1,y_2,y_3) aus U5 an. Diese werden durch die Skalare t1t_1 und t2t_2 so beschrieben, dass x1=t1x_1 = -t_1, x3=2t1x_3 = 2t_1, y1=t2y_1 = -t_2, und y3=2t2y_3 = 2t_2. Wir müssen zeigen, dass ihre Summe u+v=(x1+y1,x2+y2,x3+y3)u + v = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3) auch in U5 liegt. Das tun wir, indem wir nachweisen, dass es ein tt aus R\mathbb{R} gibt, so dass die Summe die Bedingungen von U5 erfüllt:

Die erste und dritte Komponente der Summe sind t1t2-t_1 - t_2 und 2t1+2t22t_1 + 2t_2, was gleich t-t und 2t2t ist, wenn wir t=t1+t2t = t_1 + t_2 setzen. Da tt immer noch ein reeller Skalar ist, liegt die Summe in U5.

3. Skalarmultiplikation

Jetzt nehmen wir einen beliebigen Vektor u=(x1,x2,x3)u = (x_1,x_2,x_3) aus U5 und einen Skalar α\alpha aus R\mathbb{R}. Wir müssen zeigen, dass der skalierte Vektor αu=(αx1,αx2,αx3)\alpha u = (\alpha x_1, \alpha x_2, \alpha x_3) auch in U5 liegt. Wenn uu durch den Skalar tt beschrieben wird, so dass x1=tx_1 = -t und x3=2tx_3 = 2t, dann ist αx1=αt\alpha x_1 = -\alpha t und αx3=2αt\alpha x_3 = 2\alpha t. Wenn wir t=αtt' = \alpha t setzen, sehen wir, dass αx1=t\alpha x_1 = -t' und αx3=2t\alpha x_3 = 2t', und tt' ist ebenfalls ein reeller Skalar. Folglich liegt der skalierte Vektor in U5.

Da U5 alle drei Eigenschaften erfüllt, ist es ein linearer Unterraum von R3\mathbb{R}^3.

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Danke. Mich verwirrt allerdings die Formulierung: "Es gibt ein t aus den reellen Zahlen...". Warum steht dort nicht: "Für alle t aus den reellen Zahlen"? Irgendwie habe ich das Gefühl, dass die Aufgabenstellung anders gemeint ist.

U5 ist die Menge aller Vektoren (x1, x2, x3) aus R3, für die gilt: Es existiert eine reelle Zahl t, so dass x1 = -t und x3 = 2t.

Zu U5 gehört der 0-Vektor, das ist OK.

Und es gehören  z.B.  (-1;3;2) und (-2;1;4) dazu. Es gibt halt

zu jedem ein anderes t. Und wenn man die addiert hat

man (-3;3;6)also wieder einen aus U5 nur eben mit

einem anderen t.

Von daher ist deine Argumentation völlig richtig.

Dankeschön für die Antwort!

Warum schreibt Du Deinen Vektor nicht einfach als (-t,x2,2t), anstatt so umständlich rumzuschwafeln?

1 Antwort

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Ich denke, dass das alles OK ist.

Avatar von 289 k 🚀

Danke. Mich verwirrt allerdings die Formulierung: "Es gibt ein t aus den reellen Zahlen...". Warum steht dort nicht: "Für alle t aus den reellen Zahlen"? Irgendwie habe ich das Gefühl, dass die Aufgabenstellung anders gemeint ist.

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