Hallo,
bei der folgenden Aufgabe bin ich mir nicht sicher, ob mein Beweis in Ordnung geht. Könnt Ihr mir sagen, ob mein Beweis richtig ist? Wenn nicht, wo habe ich Fehler gemacht und wie könnte man es stattdessen beweisen?
Aufgabe:
Bestimmen Sie, welche der folgenden Teilmengen U1, ...,U6 von R3 lineare
Unterräume sind:
U5 ist die Menge aller Vektoren (x1, x2, x3) aus R3, für die gilt: Es existiert eine reelle Zahl t, so dass x1 = -t und x3 = 2t.
Problem/Ansatz:
Ein linearer Unterraum muss drei Bedingungen erfüllen:
1. Enthält den Nullvektor.
2. Abgeschlossen unter Vektoraddition.
3. Abgeschlossen unter Skalarmultiplikation.
Wir überprüfen diese Bedingungen für U5:
1. Nullvektor
U5 ist die Menge aller Vektoren (x1,x2,x3) in R3, für die es ein t aus R gibt, so dass x1=−t und x3=2t. Der Nullvektor in R3 ist (0,0,0), und wenn wir t=0 setzen, erhalten wir x1=0 und x3=0. Also gehört der Nullvektor zu U5.
2. Vektoraddition
Nehmen wir zwei Vektoren u=(x1,x2,x3) und v=(y1,y2,y3) aus U5 an. Diese werden durch die Skalare t1 und t2 so beschrieben, dass x1=−t1, x3=2t1, y1=−t2, und y3=2t2. Wir müssen zeigen, dass ihre Summe u+v=(x1+y1,x2+y2,x3+y3) auch in U5 liegt. Das tun wir, indem wir nachweisen, dass es ein t aus R gibt, so dass die Summe die Bedingungen von U5 erfüllt:
Die erste und dritte Komponente der Summe sind −t1−t2 und 2t1+2t2, was gleich −t und 2t ist, wenn wir t=t1+t2 setzen. Da t immer noch ein reeller Skalar ist, liegt die Summe in U5.
3. Skalarmultiplikation
Jetzt nehmen wir einen beliebigen Vektor u=(x1,x2,x3) aus U5 und einen Skalar α aus R. Wir müssen zeigen, dass der skalierte Vektor αu=(αx1,αx2,αx3) auch in U5 liegt. Wenn u durch den Skalar t beschrieben wird, so dass x1=−t und x3=2t, dann ist αx1=−αt und αx3=2αt. Wenn wir t′=αt setzen, sehen wir, dass αx1=−t′ und αx3=2t′, und t′ ist ebenfalls ein reeller Skalar. Folglich liegt der skalierte Vektor in U5.
Da U5 alle drei Eigenschaften erfüllt, ist es ein linearer Unterraum von R3.