Welche der folgenden Mengen sind Unterräume des R3? gebe ggf Basis an! U1={x∈R3: 3x1 + 2x2 +3x3=0} , U2=

Question

Welche der folgenden Mengen sind Unterräume des R3, bestimme ggf eine Basis!

U₁={x∈R³ : 3x₁ + 2x₂ +3x₃=0}

U₂={x∈R3 : 3x₃ = x₁ -x₂ +1 }

 

suche sozusagen ein Rezept für solche Aufgabentypen. Oder ein beispielaufgabe, mit der ich weiß wie sowas auszusehen hat. Ich glaube folgende Beziehungen müssen gelten, allerdings kann ich damit nichts anfangen bzw. habe letztens dadrauf Null Punkte bekommen. Wie Zeigt man das ?

Ich glaube es muss gelten, dass der Nullvekor element der Unterraums ist, sowie a +λb ∈U ...

Es wär total nett wenn mir jemand helfen würde oder beispiel geben würde.
, Gruß Paul.

Answer 1

U₁={x∈R³ : 3x₁ + 2x₂ +3x₃=0}

ist ein UVR, da Ebene in R^3 , die den Punkt P(x1,x2,x3)=P(0,0,0) enthält. Erinnere dich an die Vektorgeometrie, falls du das mal gehabt hast.

Jede mögliche Basis von U1 besteht aus 2 beliebigen Vektoren in U1. {(1,0,-1), (2,-3,0)}. Findet man durch probieren. Einzelne Nullen helfen linear unabhängige Vektoren zu erwischen.

U₂={x∈R3 : 3x₃ = x₁ -x₂ +1 }

Kein UVR, da (0,0,0) nicht in U2.

Comments

Hey erstmal vielen Dank für deine Antwort,.. ich versteh leider nicht wieso der U2 kein UVR des R3 ist ? Woran hast du das erkannt? .... ja eventuell durch probieren könnte ichsauch noch hinkriegen allerdings habe ich gehofft, dass hier jemand ein schema "F" kennt, bei dem man durch einsetzen etc das auskriegt, wenn man in der Klausur in Panik ist.

---

 wieso der U2 kein UVR des R3 ist ? Woran hast du das erkannt?

Steht schon dort:

Kein UVR, da (0,0,0) nicht in U2.

Prüfe nun 3*0 = 0 - 0 + 1 ?

Also vereinfacht 0 = 1. Das ist falsch. Daher ist der Nullvektor nicht in U2.

schema "F"

Schema F: ist Definitionseigenschaften für Unterraum durchprobieren. Entweder kannst du alle beweisen oder eine einzige widerlegen.

Es genügt auch, wenn du eine zwingende Folgerung aus der Definition mit einem Gegenbeispiel widerlegen kannst.