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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Wir sollen die Gleichung \(\;\ln(x-a)+\ln(x)=u\;\) nach \(x\) umstellen:$$\ln(x-a)+\ln(x)=u\quad\big|e^{\cdots}$$$$e^{\ln(x-a)+\ln(x)}=e^u\quad\big|e^{a+b}=e^a\cdot e^b$$$$e^{\ln(x-a)}\cdot e^{\ln(x)}=e^u\quad\big|e^{\ln(a)}=a$$$$(x-a)\cdot x=e^u\quad\big|+\frac {a^2}{4}\quad\text{(quadratische Ergänzung)}$$$$x^2-a\cdot x+\frac{a^2}{4}=e^u+\frac{a^2}{4}\quad\big|(a^2-2ab+b^2)=(a-b)^2$$$$\left(x-\frac a2\right)^2=e^u+\frac{a^2}{4}\quad\big|\sqrt{\cdots}$$$$x-\frac a2=\pm\sqrt{e^u+\frac{a^2}{4}}\quad\big|+\frac a2$$$$x=\frac a2\pm\sqrt{e^u+\frac{a^2}{4}}$$
Das Minuszeichen bei \(\pm\) entfällt, weil die \(\ln\)-Funktion nur für positive Argumente defniert ist, sodass \(x>a\) gelten muss. Die gesuchte Lösung ist also:$$x=\frac a2+\sqrt{e^u+\frac{a^2}{4}}$$
