Grenzwertberechnung einer Funktion

Question

Bitte entschuldigt die Darstellung, aber cases wollte einfach nicht funktionieren.

Aufgabe

\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)

, wobei \(x \rightarrow \)

\((k^{x+1}-k^x+1)cos(\pi x) , if x<2\)

\(\frac{1-kx}{e^{x-2}}, if x \geq 2\)

1. Berechne linksseitiger Grenzwert \( lim_{x \rightarrow 2^-} f(x)\)

2. Berechne rechtsseitiger Grenzwert \( lim_{x \rightarrow 2^+} f(x)\)

3. Bestimme alle \( k \in \mathbb{R}\), sodass f stetig.

Problem/Ansatz:

Ich komm hier leider nicht wirklich weit, weil ich mir bei der 1. denke, dass ich doch den ersten Fall mit x<2 anschaue. Aber hier hab ich doch schon durch cosinus mehrere Häufungspunkte und somit unbestimmt divergent. Also kein Grenzwert und dann kann ich ja auch nicht die 3 bestimmen ohne Grenzwerte...

Answer 1

Ich weiß nicht, wie Du auf Deine merkwürdigen Grenzwertbetrachtungen kommst.

Hier ist \(\lim\limits_{x\to 2-} f(x) = (k^3-k^2+1)\cos(2\pi)=k^3-k^2+1\).

Comments

Ja, aber im cosinus ist ja auch ein x enthalten. cos(\pi * x) Also ist das doch nicht der Grenzwert ? Oder überseh ich da was?

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Ja, natürlich ist da ein x, aber wir machen ja x->2.

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Aber das heißt doch von allen x <2 ? also von 2 bis minus unendlich ? Da setzt man doch nicht einfach 2 ein ?

Und wie sieht das dann bei 2. Aufgabe aus ?

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x ->2 heißt x läuft gegen 2 (in dem Fall von links, ist aber egal), das ist was anderes als x in R oder x->-unendlich.

Da die linke Teilfunktion stetig ist (auf ganz R), kann man zur Grenzwertberechnung die Zahl einfach einsetzen.

Schau die Def. der Stetigkeit (die über Folgen) nochmal genau nach.

Für den rechtsseitigen Grenzwert genauso. Dein Ergebnis dafür? Und das Ergebnis für 3.?

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Ist die rechte Funktion nicht auch für alle Werte definiert und somit auch stetig ? Also setze ich hier wieder 2 ein und erhalte 1-2k ?

Und für die 3. hätte ich dann gesagt dass die auf allen k aus R stetig ist, weil die ja auf allem definiert ist.

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2. Ja, genau. Aber \(\lim f(x)= 1-2k\), ein \(a\) kommt in der Aufgabe nicht vor.

3. Es geht nicht um Stetigkeit "auf k", es geht um Stetigkeit auf R. Und die Variable ist x. Und die Frage FÜR welche k, nicht AUF. Genaues Lesen klärt bei Mathe-Aufgaben schon viele Fragen.

Da die beiden Teilfunktionen stetig sind, muss die Gesamtfunktion nur noch in x=2 untersucht werden. Was muss daher geprüft werden (Stichwort: linksseitiger Grenzwert = rechtsseitiger)?

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2. Ja, genau. Aber \(\lim f(x)= 1-2k\), ein \(a\) kommt in der Aufgabe nicht vor. Du verwechselst a und k.

3. Es geht nicht um Stetigkeit "auf k", es geht um Stetigkeit auf R. Und die Variable ist x. Und die Frage FÜR welche k, nicht AUF. Hier verwechselst Du x und k. Genaues Lesen klärt bei Mathe-Aufgaben schon viele Fragen.

Da die beiden Teilfunktionen stetig sind, muss die Gesamtfunktion nur noch in x=2 untersucht werden. Was muss daher geprüft werden (Stichwort: linksseitiger Grenzwert = rechtsseitiger)?

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Gerade korrigiert, muss k statt a sein.  Also die Frage bezieht sich bei der 3 ja nur auf k, also wär die nur für k=0 stetig. Also ist die Gesamtfunktion doch für k=0 stetig? Würde ich kein k finden, würde dass dann bedeuten die Gesamtfunktion stetig wäre nur nicht an der Stelle x=2 ?

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Der letzte Satz stimmt.

Aber vorher: langsam und gründlich (damit wir schnell fertig werden). Woher kommt jetzt k=0? Erste Frage war (nochmal): was ist zu prüfen? Dann Aufgabe: bestimme alle k....

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Also ich will ja wissen ob die Funktion stetig ist. Daher schau ich mir erstmal beide Teilfunktionen an. Diese sind beide Polynome und somit stetig. Jetzt ist ja dann nur noch die Stelle x=2 interessant. Damit also kein Sprung in der Funktion entsteht und die Funktion auf ganz R definiert ist, muss der linksseitige und rechtsseitige GW gleich sein. Wenn ich also für k= 0 einsetze 0^3-0^2 +1 =1 =1-0*2 ist die Funktion stetig

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Du überspringst wieder den entscheidenden Schritt (dadurch zieht sich die Aufgabe hin).

Dann beantworte ich meine Frage eben selbst, wenn Du es nicht tust ;-)

Zu prüfen ist, ob \(k^3-k^2+1=1-2k\) ist. Aufgabenteil 3. sagt: Bestimme alle k, für die das gilt.

Hast Du (noch) nicht gemacht.

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Aber das ist doch mit k=0 beantwortet xD Vielleicht hätte ich das besser so sagen sollen:
Der Weg war ja \( k^3-k^2+1=1-2k\). Dann auflösen nach k ich erhalte \( k(k^2-k+2)=0\). Somit k=0. (Für alle anderen k erhalte ich ja keine reellen Zahlen mehr, wenn ich pq Formel verwende. )

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Genau das gehört zur Lösung.

Zuerst hast Du nur gesagt: k=0 ist Lösung. Und man weiß nicht, sind das alle? Gibt es vielleicht noch welche? Wenn es keine gibt, wie hier, dann muss das begründet werden, weil Du damit begründest, dass NUR k=0 Lösung ist. Beachte den Unterschied: "k=0 ist Lösung" und "nur k=0 ist Lösung".

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Darauf werde ich ab sofort achten:) Dann noch vielen Dank für die ausführlichen Erklärungen !!!