Hallo Mirka,
Du hast gefragt wie man darauf kommt. Nun zunächst erstmal, indem man überhaupt davon ausgeht, dass es weitere Lösungen im Komplexen gibt. Dann muss man wissen, wie die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen funktioniert.
Stellt man sich zwei komplexe Zahlen als Vektoren in der Gauß'schen Ebene vor, so multipliziert man sie durch Addieren ihrer Winkel und Multiplizieren ihrer Beträge. Und wenn man eine Zahl wie z3 hat, so verdreifacht man den Winkel von z und nimmt den Betrag zur dritten Potenz.
Graphisch sieht das so aus:
Verschiebe den roten Punkt z mit der Maus derart, dass die Zahl z3 auf der 1 landet.
Ja - und wenn Du weißt, dassei2π=1 ist, so muss auch folgen:z3=1⟹z=e3i2π=cos(32π)+isin(32π)=−21+i213und der Vollständigkeit halber gilt natürlich auchei2π⋅k=1k∈Zz3=1⟹z=e3i2π⋅kk∈Zund für k∈{0,1,2} purzeln dann alle drei Lösungen heraus.
Gruß Werner