Ich würde hierbei folgendermaßen vorgehen:
Die komplexe Zahl \( \sqrt{3}-\frac{i}{2} \) (in Polarform als \( \frac{\sqrt{13}}{2} \cdot e^{-i \frac{\pi}{6}} \)) kann man mit der Euler'sche Formel berechnen:
\( e^{i \theta}=\cos (\theta)+i \cdot \sin (\theta) \)
Für \( \theta=-\frac{\pi}{6} \) gilt:
\( \sqrt{3}-\frac{i}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2} \cdot\left(\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i \cdot \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) \)
Nun kann man das Ganze zur Potenz 40 nehmen:
\( \left(\sqrt{3}-\frac{i}{2}\right)^{40}=\left(\frac{\sqrt{13}}{2} \cdot\left(\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i \cdot \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)\right)^{40} \)
Mit der Euler'schen Formel können wir \( e^{i \theta} \) für \( \theta=-\frac{\pi}{6} \) ausrechnen:
\( \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i \cdot \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)=e^{-i \frac{\pi}{6}} \)
Somit ergibt sich:
\( \left(\sqrt{3}-\frac{i}{2}\right)^{40}=\left(\frac{\sqrt{13}}{2} \cdot e^{-i \frac{\pi}{6}}\right)^{40}=\left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^{40} \cdot e^{-i \frac{40 \pi}{6}} . \)
Dies führt zum Ergebnis \( \left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^{40} \) als Absolutbetrag und \( -\frac{20 \pi}{3} \) als Argument der komplexen Zahl.
