Zeigen Sie: Die Folge (an)n∈N konvergiert nicht gegen 0..

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Folge
(an) := (1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, . . . ) .
Zeigen Sie: Die Folge (an)n∈N konvergiert nicht gegen 0..

Problem/Ansatz:

Wenn die Folge ja nicht konvergent ist, muss sie ja divergent sein, aber wie kann man das in einem Beweis zeigen?

Answer 1

Bew.: Würde sie gegen 0 konvergieren, dann müsste es für jedes ε>0 ein N∈ℕ

geben mit n>N ==>  | a_n - 0 | < ε. Also müsste es das auch für  ε=0,5 geben.

Dann wäre aber für dieses N richtig :  n>N ==>  | an - 0 | < 0,5

Da aber immer auch Folgenglieder mit Wert 1 erscheinen und      | 1 - 0 | < 0,5

offenbar falsch ist, kann das nicht sein.

Also konvergiert die Folge nicht gegen 1.

Im Übrigen hat sie die Häufungspunkte 0 und 1 , also konvergiert sie gar nicht.

Answer 2

Es gilt:
Wenn eine Folge konvergent ist, dann ist auch jede Teilfolge konvergent gegen denselben Grenzwert.

Nun enthält die gegebene Folge die folgenden 2 Teilfolgen:

\(a_{n_k} =\left\{ \begin{array}{ll} 1 & n_k=\frac{k(k+1)}2 \\ 0 & n_k=1+\frac{k(k+1)}2\end{array}\right.\)

Damit gilt

\(\lim_{k\to\infty}a_{\frac{k(k+1)}2} = 1\)

\(\lim_{k\to\infty}a_{1+\frac{k(k+1)}2} = 0\)

Damit kann \(a_n\) nicht konvergent sein.