Aufgabe zu Summen/ Binomischem-Lehrsatz

Question

Aufgabe:

… Zeigen Sie, dass gilt

∀ n ∈ N: n ≤ (1+sqrt(2/n))ⁿ

Problem/Ansatz:

Ich habe den Binomischen Leersatz benutzt, komme jz aber nicht weiter.

Ich habe überlegt den binom. Koeffizienten auszuschreiben, aber das funktioniert nicht.

Was muss ich tun?

PS: als Tipp ich soll keine Vollständige Induktion machen

Comments

Aufgabe zu Summen/ Binomischem-Leersatz

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Und warum lieferst du deine Rechnung nicht mit?

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Schreib mal den 3. Summanden auf und vereinfache....

Answer 1

Aloha :)

Für $n=1$ gilt die Behauptung, denn:$$n=1\pink<\left(1+\sqrt{\frac21}\right)^1=\left(1+\sqrt{\frac2n}\right)^n\quad\checkmark$$

Für $n\ge2$ gilt nach dem binomischen Lehrsatz:$$\left(1+\sqrt{\frac2n}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot1^{n-k}\cdot\left(\sqrt{\frac2n}\right)^k$$Wir wählen aus der Summe die Summanden zu $k=0$ und zu $k=2$ aus.

Alle übrigen lassen wir einfach weg, daher das Größer-Zeichen:$$\left(1+\sqrt{\frac2n}\right)^n>\binom{n}{0}+\binom{n}{2}\cdot\left(\sqrt{\frac2n}\right)^2=1+\frac{n(n-1)}{2}\cdot\frac2n=1+(n-1)=n$$

Es gilt sogar die Größer-Relation.