Rekonstruktionsaufgabe quadratische Funktion

Question

Aufgabe:

Eine quadratische Funktion mit einer Nullstelle bei x = 1, deren Hochpunkt auf der
Y-Achse liegt, schließt mit den Koordinatenachsen im 1. Quadranten eine Fläche mit dem Inhalt 1 ein. Um welche Funktion handelt es sich?

Wie muss ich vorgehen?

Answer 1

lange nach Schule und Studium habe ich gelernt, dass ein Rechteck mit einem Eckpunkt auf dem Scheitelpunkt einer Parabel und dem gegenüberliegendem Eckpunkt auf der Parabel im Flächenverhältnis 2:1 durch die Parabel aufgeteilt wird.

Mir ist aber nicht klar, ob so etwas an Schulen zugrunde gelegt wird.

Comments

Mir ist aber nicht klar, ob so etwas an Schulen zugrunde gelegt wird.

Generell wird es nicht zugrunde gelegt.

Ich leite mit meinen Schülern meist die Fläche unter einem Parabelbogen mit A = 2/3 * g * h im Rahmen der Integralrechnung her.

Das liegt allerdings daran, dass in dem von mir empfohlenen Mathematikbuch ziemlich viele Aufgaben sind, in denen eine Parabelfläche berechnet werden muss. Dann ist es spätestens beim 10. mal hilfreich, wenn man eine schnelle allgemeine Formel hat.

Answer 2

Eine quadratische Funktion, deren Hochpunkt auf der
Y-Achse liegt, hat eine Gleichung der Form f(x)=ax² +b .

Nullstelle bei x = 1 ==>    a+b = 0   ==>   b= -1/a FEHLER

Das muss ja b=-a heißen !!!

Also f(x)= ax² - a.

Fläche im ersten Quadranten liegt über dem Intervall [0;1],

also $\int\limits_0^1 ( ax^2 - a ) dx = 1$

==>  $[ \frac{a}{3} x^3 - ax]_0^1 = 1$

==> $\frac{a}{3} - a = 1$

==>  $-\frac{2}{3}a = 1$

==>  $a = -\frac{3}{2}$

==>   $f(x) = -\frac{3}{2} x^2 +\frac{3}{2}$

Comments

Woher weiß ich das die Intervallgrenze 1 ist?

---

"...schließt mit den Koordinatenachsen im 1. Quadranten eine Fläche..."
also von 0 bis zur Nullstelle.

---

a+b=0 ==> b=-a

---

Danke, ist korrigiert.

Answer 3

f(x) = ax²+bx+c

f '(x) = 2ax+b

f(1) = 0

f '(0) = 0

∫f(x) von 0 bis 1 = 1

a+b+c=0

2a*0+b= 0

b = 0 -> f(x) = ax²+c

a+c= 0

c= -a

[ax³/3-ax] von 0 bis 1 = 1

a/3-a -0 = 1

-2/3*a= 1

a= -3/2

c= 3/2

f(x) = -3/2*x²+3/2

Answer 4

Ich empfehle https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f(1) = 0
f'(0) = 0
F(1) - F(0) = 1

Gleichungssystem

a + b + c = 0
b = 0
1/3·a + 0,5·b + c = 1

Errechnete Funktion

f(x) = -1,5·x² + 1,5

Answer 5

Nullstelle bei $x = 1$ bedeutet wegen der Achsensymmetrie auch eine Nullstelle bei $x = -1$

Nullstellenform der Parabel 2.Grades:

$f(x)=a\cdot (x+1)\cdot(x-1)=a\cdot(x^2-1)$

$1=\int\limits_{0}^{1}a\cdot(x^2-1)dx$

$1=a\cdot\int\limits_{0}^{1}(x^2-1)dx$

$\frac{1}{a}=\int\limits_{0}^{1}(x^2-1)dx=[\frac{1}{3} \cdot x^3-x]_{0}^{1}=[\frac{1}{3} \cdot 1^3-1]-[0]=-\frac{2}{3}$

$\frac{1}{a}=-\frac{2}{3}$

$a=-\frac{3}{2}$

$f(x)=-\frac{3}{2}\cdot(x^2-1)$