Wie beweist man, dass eine unbeschränkte Folge eine Teilfolge besitzt, die entweder gegen plus oder minus unendlich …

Question

Aufgabe:

Wie beweist man, dass eine unbeschränkte Folge eine Teilfolge besitzt, die entweder gegen plus oder minus unendlich divergiert?

Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht sicher, welchen Satz/welches Kriterium etc. man hier verwenden soll. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Answer 1

Sei \(   (a_n)_{n \in \mathbb{N}}  \) eine unbeschränke Folge.

==>  Für alle \(  k \in \mathbb{N}  \) gibt es ein \(  n \in \mathbb{N}  \) mit \(  |a_n| \gt k \)

Sei nun für jedes \(  k \in \mathbb{N}  \)   \(  b_k \) eines dieser    \(  b_k \)  mit   \(  |a_n| \gt k \)

Dann gilt:   \(  \forall k \in \mathbb{N}  |b_k| > k \) und \(  (b_k)_{k \in \mathbb{N}}  \) ist eine

Teilfolge von \(  (a_n)_{n \in \mathbb{N}}  \).

1. Fall  \(   \{ k \in \mathbb{N} | b_k \ge 0 \} \) ist endlich. Dann hat sie ein Maximum \(  b_m \)

Dann ist die Folge \(  (b_{m+k})_{ k \in \mathbb{N}  } \) eine Teilfolge von   \(  (b_k)_{k \in \mathbb{N}}  \) also auch

von   \(  (a_n)_{n \in \mathbb{N}}  \).

Und für alle Glieder dieser Folge gilt   \(  |b_{m+k}| \gt m+k \)  ,und \( b_k \lt 0 \} \)

also \(  \lim\limits_{k \to \infty}  b_{m+k} = -\infty \).

2. Fall   \(  \{ k \in \mathbb{N} | b_k \ge 0 \} \) ist unendlich. Dann bilden diese

nichtnegativen Folgenglieder von   \(  (b_{k})_{ k \in \mathbb{N}  } \) eine Teilfolge,

 \(  (b_{j})_{ j \in \mathbb{N}  } \) von von \(  (a_n)_{n \in \mathbb{N}}  \) , für deren Glieder immer gilt   \( b_j \gt j \)

also \(  \lim\limits_{j \to \infty}  b_{j} = \infty \).