Oder geht es bei den Linearfaktoren nur um die Nullstelle der einzelnen Funktionen sprich Nenner und Zählerfunktionen?

Question

Aufgabe:

Ich habe eine Frage hierzu. Es geht darum die Nullstellen, Polstellen und Definitionslücken zu ermitteln.

Errechnet man die Nullstellen der Zählerfunktion, so erhalten wir eine doppelte Nullstelle bei x=6.

Setzt man die 6 in die Nennerfunktion ein so erhalten wir dass x=6 eine Definitionslücke ist

Meine Frage ist nun, warum wird (x-6)² bei der Linearfaktordarstellung in den Zähler geschrieben. Denn nach der Definiton ist x=6 keine Nullstelle der gesamten Funktion. Oder geht es bei den Linearfaktoren nur um die Nullstelle der einzelnen Funktionen sprich Nenner und Zählerfunktionen ?

Text erkannt:

(b)
$f(x)=\frac{x^{2}-12 x+36}{x^{3}-5 x^{2}-6 x}$

Zählernullstellen: Zur Bestimmung der Nullstellen verwenden wir die 2. Binomische Formel
$x^{2}-12 x+36=0 \quad \Rightarrow \quad(x-6)^{2}=0$
$\underline{\underline{x=6}}$ ist doppelte Zählernullstelle.

Nennernullstellen:
$\begin{array}{l} x^{3}-5 x^{2}-6 x=0 \quad \Rightarrow \quad x\left(x^{2}-5 x-6\right)=0 \\ x=0 \quad \text { oder } \quad x^{2}-5 x-6=0 \\ x^{2}-5 x-6=0 \\ x_{1,2}=\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}+6}=\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4}}=\frac{5}{\underline{\frac{5}{2}} \pm \frac{7}{2}} \\ \underline{\underline{x_{1}=6}} \text { und } \underline{\underline{x_{2}=-1}} \\ x^{3}-5 x^{2}-6 x=x(x-6)(x+1) \\ \end{array}$
$\Rightarrow$

Text erkannt:

Nullstelle: keine
Polstelle: $\underline{\underline{x_{p 1}=6}}$ und $\underline{\underline{x_{p 2}}=-1}$
$\Rightarrow$

Was ist mit $x=6$ ? Hier liegt eine $, ~, \frac{0}{0}$ “ Situation vor.
Wir betrachten die Funktion in der Linearfaktordarstellung:
$f(x)=\frac{(x-6)^{2}}{x(x-6)(x+1)}$

Jetzt gleiche Linearfaktoren kürzen:
$\tilde{f}(x)=\frac{(x-6)}{x(x+1)} \quad \Rightarrow \quad \tilde{f}(x)=\frac{(6-6)}{6(6+1)}=0$

Die Funktion hat an der Stelle $x=6$ eine hebbare Definitonslücke. Die Funktion wird stetig durch $f(6)=0$.
(c)

Answer 1

Aloha :)

Bei der Linearfaktor-Zerlegung geht es darum, ein Polynom als Produkt linerarer Faktoren zu schreiben. Hier kannst du das Polynom im Zähler und das Polynom im Nenner unabhängig voneinander in Linearfaktoren zerlegen:$$x^2-12x+36=(x-6)(x-6)$$$$x^3-5x^2-6x=x(x^2-5x-6)=x(x-6)(x+1)$$

Der Vorteil einer Linearfaktor-Zerlegung ist, dass man die Nullstellen des Polynoms direkt ablesen kann. Ein Polynom ist Null, wenn mindestens ein Linearfaktor Null ist.

Nach der Linearfaktor-Zerlegung:$$f(x)=\frac{(x-6)\cdot(x-6)}{x\cdot(x-6)\cdot(x+1)}$$kannst du leicht Aussagen über die Funktion $f(x)$ treffen.

1) Definitionslücken:$\quad\left(\frac{\text{egal}}{=0}\right)$

Eine Definitionslücke liegt vor, wenn der Nenner Null ist.

Wir haben hier Definitionslücken bei $x=0$, $x=6$ und $x=-1$.

2) Polstellen:$\quad\left(\frac{\ne0}{=0}\right)$

Eine Polstelle liegt vor, wenn der Nenner Null ist und der Zähler ungleich Null.

Wir haben hier Polstellen bei $x=0$ und $x=-1$.

3) Nullstellen:$\quad\left(\frac{=0}{\ne0}\right)$

Eine Nullstelle liegt vor, wenn der Nenner ungleich Null ist und der Zähler glech Null.

Wir haben hier keine Nullstellen.

Answer 2

Benutze die Begriffe einfach richtig. Ein Linearfaktor ist keine Nullstelle.  

Und du siehst ja auch, dass die Funktion stetig fortgesetzt werden kann, so dass man dort wieder eine Nullstelle hat.

Answer 3

Zu b) Der Zähler x²-2x+36 = (x-6)², der Nenner hat die Zerlegung x·(x + 1)·(x - 6).

Comments

Der Zähler ist im Reellen unzerlegbar

Wieso? Es ist doch eine binomische Formel.

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Der Zähler ist im Reellen unzerlegbar,

Falsch und die Zerlegung steht doch auf dem Bild. Wieso werden die konkreten Fragen der FS ständig ignoriert?

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Tut mir leid, habe nicht alles durchgelesen und einen Vorzeichenfehler gemacht.