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Ein Standbetreiber des Weihnachtsmarktes möchte die Anzahl der Kunden \( a_{n} \) für jeden Tag \( n \in \mathbb{N}_{>0} \) nach Eröffnung des Marktes abschätzen. Da zufriedene Kunden für gewöhnlich andere Kunden von der Qualität der Produkte überzeugen, hängt \( a_{n} \) unter anderem von der Anzahl der Kunden der vorherigen Tage ab. Es werden verschiedene Annahmen getroffen:
a) Angenommen, es gelte \( a_{n+1}=2 a_{n}+1 \) für alle \( n \geq 1 \), sowie \( a_{1}=7 \).
b) Angenommen, es gelte \( a_{n+2}=a_{n}+4 \) für alle \( n \geq 1 \), sowie \( a_{1}=3, a_{2}=5 \).
c) Angenommen, es gelte \( a_{n}=\left(a_{n-1}\right)^{2} \) für alle \( n \geq 2 \), sowie \( a_{1}=2 \).
Geben Sie jeweils einen geschlossenen, nicht-rekursiven Ausdruck für \( a_{n} \) an und beweisen Sie seine Korrektheit per vollständiger Induktion.
Aufgabe:
Problem/Ansatz:
Guten Abend zusammen. Brauche Unterstützung bei dieser Aufgabe.
Bin schon auf geschlossene, nicht-rekursive Ausdrücke gekommen:
a) A(n) = 7 * 2(n-1) + 2(n-1) - 1
b) A(n) = 1 + 2n
c) A(n) = 2n
Habe gerade Probleme mit dem Korrektheitsbeweis per vollständiger Induktion. bei a) und b) verwirrt mich, dass es um an+1 und an+2 geht und, dass es bei b) zwei Basisfälle gibt. Bin für eure Hilfe sehr dankbar.
