Sei D ⊂ R ein Intervall. Eine Funktion f : D → R

Question

Aufgabe:

Sei D ⊂ R ein Intervall. Eine Funktion f : D → R heißt Lipschitz-stetig (mit Konstante C),
wenn es ein C > 0 gibt, so dass fur alle ¨ x, y ∈ D gilt:
|f(x) − f(y)| ≤ C|x − y| .
i) Beweisen Sie, dass jede Lipschitz-stetige Funktion f : D → R insbesondere stetig ist.
ii) Zeigen Sie, dass umgekehrt nicht jede stetige Funktion auch Lipschitz-stetig ist.
iii) Ist f : R → R Lipschitz-stetig mit Konstante C, wobei 0 < C < 1, dann hat f einen
Fixpunkt.
Hinweis: Betrachten Sie fur ¨ x0 ∈ R die Folge (xn)n∈N, wo xn := f(xn−1) fur ¨ n ≥ 1

Answer 1

i)  Sei x∈D und $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ eine Folge in D mit $\lim \limits_{n \to \infty} x_n = x$

==>  Es gibt C>0 mit   $| f(x_n) - f(x) | \le C |x-x_n|$ für alle n∈ℕ.

==>   $\lim \limits_{n \to \infty} | f(x_n) - f(x) \le C \cdot \lim \limits_{n \to \infty} |x_n - x| = C \cdot 0 = 0$

==>    $\lim \limits_{n \to \infty} | f(x_n) - f(x) |= 0$

==>   $\lim \limits_{n \to \infty} f(x_n) = f(x)$. Also f stetig bei x.