Aufgabe:
Konstruieren Sie für den folgenden R-Vektorraum eine Basis:U1 ={ (x1, x2, x3) ∈ ℝ3 | x1 + x2 − x3 = 0 }
Problem/Ansatz:
Wie geht man hier vor?
Aloha :)
Schreibe die Bedingung in der Formx3=x1+x2x_3=x_1+x_2x3=x1+x2und gib alle Vektoren aus U1U_1U1 explizit an:(x1x2x3)=(x1x2x1+x2)=x1(101)+x2(011)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_1+x_2\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}⎝⎛x1x2x3⎠⎞=⎝⎛x1x2x1+x2⎠⎞=x1⎝⎛101⎠⎞+x2⎝⎛011⎠⎞Die beiden Richtungsvektoren bilden eine Basis von U1U_1U1.
x_3=x_1+x_2 d.h wenn man x_1 und x_2 frei wählt ist x_3 direkt dadurch bestimmt. Also hast du hier zwei Basisvektoren (Dimension des Vektorraums ist 2) d.h du musst nur zwei linear unabhängige Vektoren aus dem Vektorraum finden.
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos