Konstruieren Sie für den folgenden R-Vektorraum eine Basis:

Question

Aufgabe:

Konstruieren Sie für den folgenden R-Vektorraum eine Basis:
U₁ ={ (x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³ | x₁ + x₂ − x₃ = 0 }

Problem/Ansatz:

Wie geht man hier vor?

Answer 1

Aloha :)

Schreibe die Bedingung in der Form$$x_3=x_1+x_2$$und gib alle Vektoren aus \(U_1\) explizit an:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_1+x_2\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$Die beiden Richtungsvektoren bilden eine Basis von \(U_1\).

Answer 2

x_3=x_1+x_2 d.h wenn man x_1 und x_2 frei wählt ist x_3 direkt dadurch bestimmt. Also hast du hier zwei Basisvektoren (Dimension des Vektorraums ist 2) d.h du musst nur zwei linear unabhängige Vektoren aus dem Vektorraum finden.