und bei
k=0∑n=2 2
n+2n+1 = 2
2+22+1 = ...\).
Diese Rechnung ist falsch.
Du darfst nicht einfach ein Summenzeichen weglassen.
Bsp: ∑k=021=1+1+1=3. Nach deinem "Weglassfehler" würde 1 herauskommen, was offensichtlich falsch ist.
Du solltest unbedingt noch einmal die Funktionsweise des Summenzeichens wiederholen.
Noch zur Divergenz:
Wir wissen bisher, dass das Cauchy-Produkt der Reihen wie folgt aussieht:
n=0∑∞cn mit cn=k=0∑nk+1n−k+1(−1)n
Außerdem hat unsere Rechnung gezeigt, dass gilt
∣cn∣≥2n+2n+1(⋆)
Für die Konvergenz einer Reihe ist notwendig, dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden.
Das ist wegen (⋆) nicht möglich.
Daher kann die Reihe ∑n=0∞cn nicht konvergent sein.