Quadratische Terme in Linearfaktoren aus x faktorisieren

Question

Aufgabe:

Quadratische Terme, deren Koeffizienten ganze Zahlen sind, lassen sich manchmal in Linearfaktoren aus \( \mathrm{x} \) und einem ganzzahligen Summanden faktorisieren, wie im Beispiel:
\( x^{2}+8 x+15=(x+3) *(x+5) \)
Unter welchen Bedingungen ist das möglich? Begründen Sie!

Answer 1

Satz von Vieta:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Vieta

Es sollten ganze, überschaubare Zahlen im Spiel sein. Man überlegt sich zuerst, wie man die Konstante faktorisieren kann und probiert dann die Kombinationen durch, wenn man passende nicht sofort sieht.

Hier könnte man noch an 1 und 15 denken, was aber sehr schnell ausscheidet.

Hier z.B. Lösungen mit der 1 gegeben:

x^2+16x+15 = (x+1)(x+15)

oder:

x^2-14x-15 = (x-15)(x+1)

oder:

x^2-16x+15 =( x-15)(x-1)

Es sind also Zahlenspielereien.

Vieta geht auch mit Brüchen. Nur ist es halt dann nicht so leicht zu erkennen.

Answer 2

Unter welchen Bedingungen ist das möglich?

Die Zahl ohne x muss das Produkt zweier ganzer Zahlen sein, deren Summe der Koeffizient von x ist. x²+(a + b)·x +a · b=(x + a)·(x + b) für a ∈ ℤ, b ∈ ℤ.

Comments

Das Dumme daran ist, dass solche Terme selten sind und wohl nur Schulzwecken dienen. Im Leben ist mir Vieta noch nie untergekommen.

Oder gibt es eine Nutzanwendung im real life? Doch als Zahlenspielerei ist das sinnvoll in Zeiten, wo das Kopfrechnen ausstirbt und das Zahlengefühl abnimmt.

Witz dazu:

Womit verdienst du dein Geld?

Ich bin Obsthändler! Ich kaufe das Kilo Äpfel für 1 Euro ein und verkaufe es für 3 Euro weiter. Von den 2% Unterschied lebe ich und habe es zu einem kleinen Vermögen gebracht. :)

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ggT22: Welche Themen der Schulmathematik kommen in deinem Leben vor?

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v.a. Kaufmännische und wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen, naturwissenschaftliche Dinge sind auch darunter.

Ich mache gern Zahlenspielereien, wie du weißt. Die Zahlenwelt faszierend mich, wie dich die Geometrie.

Answer 3

Aloha :)

Du möchtest einen quadratischen Term wie folgt zerlegen:$$x^2+p\cdot x+q=\left(x+\red{\boxed{\phantom M}}\right)\cdot\left(x+\green{\boxed{\phantom M}}\right)$$

Um zu verstehen, wann das klappt, nehmen wir an, dass wir die Zahlen aus den Boxen schon kennen. Wir setzen sie in die Boxen ein und multiplizieren die beiden Klammern miteinander:$$(x+\red a)\cdot(x+\green b)=x^2+\red ax+\green bx+\red a\green b=x^2+\underbrace{(\red a+\green b)}_{=p}\cdot x+\underbrace{(\red a\cdot \green b)}_{=q}$$

Wir erkennen: "Die Faktoren von \(q\) ergeben addiert \(p\)."

Du schaust also, in welche Faktoren du die Zahl \(q\) zerlegen kannst und prüfst, ob deren Summe die Zahl \(p\) ergibt. Wenn du solche Faktoren findest, kannst du die Zerlegung sofort hinschreiben:

$$x^2+8x+15=\underbrace{x^2+(\red3+\green5)\cdot x+(\red3\cdot\green5)}_{\text{weglassen, das passiert nur in deinem Kopf.}}=(x+\red3)\cdot(x+\green5)$$$$x^2+x-6=\underbrace{x^2+(\red3+\green{(-2)})\cdot x+\red3\cdot\green{(-2)}}_{\text{weglassen, das passiert nur in deinem Kopf.}}=(x+\red3)\cdot(x\green{-2})$$$$x^2+26x+169=\underbrace{x^2+(\red{13}+\green{13})\cdot x+\red{13}\cdot\green{13}}_{\text{weglassen, das passiert nur in deinem Kopf.}}=(x+\red{13})\cdot(x+\green{13})$$