Wie kann ich hier partiell Integrieren?

Question

Aufgabe:

$\int\limits_{1}^{e}$x*ln(x)dx

Problem/Ansatz:

Ich soll von diesem Ausdruck durch partielles Integrieren zu 1/4*(e²+1) kommen. Könnte mir jemand bitte erklären, was ich hier machen muss? Vielen Dank im schon mal!

Comments

mit ausführlichem Rechenweg:

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Aloha :)

$$I=\int\limits_1^e\underbrace{x}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln(x)}_{=v}\,dx=\left[\underbrace{\frac{x^2}{2}}_{=u}\cdot\underbrace{\ln(x)}_{=v}\right]_1^e-\int\limits_1^e\underbrace{\frac{x^2}{2}}_{=u}\cdot\underbrace{\frac1x}_{=v'}\,dx=\frac{e^2}{2}-\int\limits_1^e\frac x2\,dx$$$$\phantom I=\frac{e^2}{2}-\left[\frac{x^2}{4}\right]_1^e=\frac{e^2}{2}-\left(\frac{e^2}{4}-\frac14\right)=\frac{e^2+1}{4}$$

Answer 2

Partiell integrieren! Wähle $u'(x) =x$ und $v(x) =\ln(x)$. Und dann ist $\int\! u'(x) v(x)\, \mathrm{d}x=u(x) v(x) - \int\! u(x) v'(x)\, \mathrm{d}x$