Integrale mit dem Satz von Fubini im zwei- und dreidimensionalen Raum berechnen:

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie
$\int \limits_{A} f \mathrm{~d} \mathcal{L}^{N}$
mithilfe des Satzes von Fubini, wobei
a) $N=2, A:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq x^{2}\right\}$ und $f(x, y)=x y$;
b) $N=2, A:=\left\{(x, y) \in[0,1]^{2}: y \leq 1-x\right\}$ und $f(x, y)=x^{2}+y^{2}$;
c) $N=3, A:=\left\{(x, y, z) \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]^{3}: 0 \leq z \leq \sin (x+y)\right\}$ und $f \equiv 1$.

Problem/Ansatz:

Wenn ich das richtig verstanden habe, müsste ich doch folgendermaßen vorgehen:

a)

$\int \limits_{A} f \mathrm{~d} \mathcal{L}^{2}=\int \limits_{0}^{2}\left(\int \limits_{0}^{x^{2}} x y \mathrm{~d} y\right) \mathrm{d} x$

$\int \limits_{0}^{x^{2}} x y \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} x\left(x^{2}\right)^{2}=\frac{1}{2} x^{5}$

$\int \limits_{0}^{2} \frac{1}{2} x^{5} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \cdot\left[\frac{1}{6} x^{6}\right]_{0}^{2}=\frac{1}{2} \cdot \frac{64}{6}=\frac{32}{6}=\frac{16}{3}$

b)

$\int \limits_{A} f \mathrm{~d} \mathcal{L}^{2}=\int \limits_{0}^{1}\left(\int \limits_{0}^{1-x}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x$

$\int \limits_{0}^{1-x}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y=\left[x^{2} y+\frac{1}{3} y^{3}\right]_{0}^{1-x}=x^{2}(1-x)+\frac{1}{3}(1-x)^{3}$

$\int \limits_{0}^{1}\left(x^{2}(1-x)+\frac{1}{3}(1-x)^{3}\right) \mathrm{d} x=\frac{1}{12}$

c)

$\int \limits_{A} f \mathrm{~d} \mathcal{L}^{3}=\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\int \limits_{0}^{\sin (x+y)} 1 \mathrm{~d} z\right) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x$

$\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (x+y) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x=\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}[-\cos (x+y)]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} x=\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos x) \mathrm{d} x$$=[x-\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}$

Habe ich das so richtig berechnet (stimmen insbesondere die Integrationsgrenzen so?)

LG Euler

Comments

Habe ich insbesondere die Integralgrenzen richtig gesetzt???

LG Euler

Answer 1

Ich habe den Eindruck, dass die Integrationsgrenzen alle stimmen.

Comments

Hi mathef,

Danke dir für deine kurze Rückmeldung - ich war mir bei b) und c) nicht ganz so sicher, ob ich das so richtig aufgefasst hatte. Aber nachdem wir schon zu zweit sind, wird's schon passen ☺

Noch einen schönen Tag,
LG Euler