Sei (V,+) eine kommutative Gruppe

Question

Text erkannt:

Sei $(V,+)$ eine kommutative Gruppe, $K$ ein Körper und $\cdot: K \times V \rightarrow V$ eine Verknüpfung. Damit $(V,+, \cdot)$ ein $K$-Vektorraum ist, muss die Verknüpfung vier Eigenschaften erfüllen. Weisen Sie diese Eigenschaften konkret für den Fall nach, in dem $V=\mathbb{R}^{2}, K=\mathbb{R},+$ die aus der Vorlesung bekannte Vektoraddition und $\cdot$ die gewöhnliche skalare Vervielfältigung ist.

Answer 1

Die 4 Eigenschaften sind doch wohl

Assoziativität , Distributiv 1, Distributiv 2 und 1·v=v

Also musst du fürs erste zeigen:  Für alle u∈ℝ² und x,y ∈ℝ gilt  x·(y·u)=(x·y)·u

Mit $u= \begin{pmatrix}u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}$ wäre also zu prüfen

$x\cdot (y \cdot \begin{pmatrix}u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} ) = (x\cdot y) \cdot \begin{pmatrix}u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}$

Verwende die Definition der "gewöhnlichen skalaren Vervielfältigung" dann hast

du doch $x\cdot (y \cdot \begin{pmatrix}u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} ) = x\cdot \begin{pmatrix}y \cdot u_1 \\ y \cdot u_2 \end{pmatrix}$

und jetzt nochmal diese Def. anwenden gibt

$= \begin{pmatrix} x\cdot (y \cdot u_1) \\ x\cdot (y \cdot u_2 ) \end{pmatrix}$

Dann das Assoziativgesetzt im Körper $(\mathbb{R},+, \cdot)$ anwenden:

$= \begin{pmatrix} (x\cdot y) \cdot u_1 \\ (x\cdot y) \cdot u_2 \end{pmatrix}$

und jetzt die Def. von oben rückwärts anwenden

$(x\cdot y) \cdot \begin{pmatrix}u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}$   q.e.d.

So ähnlich bekommst du auch die anderen drei hin, kannst ja ggf.

nochmal nachfragen.

Answer 2

Und wo ist das Problem? Schreibe dir erstmal die zu zeigenden Eigenschaften heraus. Ein Element aus $\mathbb{R}^2$ hat die Form eines Vektors mit 2 Komponenten $u= \begin{pmatrix}u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}$.